泰勒定理的應用

Question

各位網友们,動腦的時間到了我們知道泰勒定理是微積分學中的重要定理,現在問題來了:如何利用泰勒定理去證明二項式定理:(a+b)n=Σk=0nC(n,k)akbn-k

Answer 1

【泰勒定理】若 f(x) 使得 f(0)、f'(0)、f''(0)、… 均存在，則：
f(x) = [ f(0) / 0! ] * x^0 + [ f'(0) / 1! ] * x^1 + [ f''(0) / 2! ] * x^2 + …

我們取 f(x) = ( x + b )^n 就解決了！先處理微分部分：

f(x) / 0! = 1 * ( x + b )^n = C( n , 0 ) * ( x + b )^n
→ f(0) / 0! = C( n , 0 ) * b^n

f'(x) / 1! = ( n / 1! )*( x + b )^( n - 1 ) = C( n , 1 ) * ( x + b )^( n - 1 )
→ f'(0) / 1! = C( n , 1 ) * b^( n - 1 )

f''(x) / 2! = ( n*( n - 1 ) / 2! )*( x + b )^( n - 2 ) = C( n , 2 ) * ( x + b )^( n - 2 )
→ f''(0) / ! = C( n , 2 ) * b^( n - 2 )

……………………………

因為 f(x) 為 n 次多項式，故微分 n+1 次開始為 0 。
所以得到

f(x) = [ C( n , 0 ) * b^n ] * x^0 + [ C( n , 1 ) * b^( n - 1 ) ] * x^1 + [ C( n , 2 ) * b^( n - 2 ) ] * x^2 + … + [ C( n , n ) * b^0 ] * x^n

取 x = a 就得到：

( a + b )^n = f(a) = C( n , 0 ) * a^0 * b^n + C( n , 1 ) * a^ 1* b^( n - 1 ) + … + C( n , n ) * a^n * b^0

●得證●

Answer 2

？？？
f(x)=(a*x+b)^n在x=0的地方以泰勒級數展開，再以x=1代入。
級數收斂區間(-∞,∞)