關於因數與倍數的數學問題？

Question

a、b、c、d為互異的自然數，試証：(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)恆為12的倍數。

Answer 1

我的想法前半和chuchu類似，但後半不一樣(比較囉唆)。a,b,c,d有4個數，但除以3只有三種餘數(0,1,2)，所以根據鴿籠原理，a,b,c,d至少有兩個數除以3的餘數是相同的，相減即為3的倍數。故原式是3的倍數。C(4,2)=6，所以原式把4數兩兩相減的情況都列出來了。倘若4數是：4偶，顯然原式是64的倍數3偶1奇，3偶兩兩相減產生C(3,2)=3個偶數，原式是8的倍數2偶2奇，2偶相減產生一個偶數，2奇相減產生一個偶數，原式是4的倍數1偶3奇，3奇兩兩相減產生C(3,2)=3個偶數，原式是8的倍數4奇，顯然原式是64的倍數故原式必為4的倍數。綜合以上，原式是3的倍數且是4的倍數，故原式是12的倍數。

Answer 2

令k=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c) (b-d)(c-d)
a,b,c,d互異，4數用3除餘數可能為0,1,2
必有2數用3除餘數相同(鴿籠原理)
不妨設為a,b，(a-b)為3的倍數，k為3的倍數
4數中若有1數為4的倍數，則k為4的倍數
4數中若無4的倍數，用4除餘數可能為1,2,3
必有2數用4除餘數相同，則k為4的倍數
綜合以上k為12的倍數