如何證明以下這條的不等式(急)

Question

5ⁿ≥2ⁿ*n²不懂得怎麼做...請使用k及k+1來做...並列明過程解釋...很急的!!請幫幫忙,謝!!!

呃呃........其實不用k及k+1都可以啦...>.<
只要讓我明白這題怎樣解就好了...Q.Q

天阿...我兩個都不明白QQ|||我果然很笨...嗚嗚...
TO Ohb: 為什麼會有9/4出現的???

TO chuchu: 我...我完全不明白為什麼要這樣做QQ|||對不起...為什麼會跑出個(5/2)^n的...??



=1,2,3,4皆成立
n≧5，(5/2)^n＞2^n＞n^2
所以5^n＞(2^n)*n^2

Answer 1

若n為正整數，等號不會成立，不等式應該去掉相等的情形
可是你卻忘了，相等與大於本來就是"或"的關係，所以有等號也不矛盾，只是不漂亮而已。
就好比任何質數>=1，這是正確的。

2006-06-16 11:22:05 補充：
引理一：2k2＞(k+1)2，當k≧3時證明：2k2-(k+1)2=2k2-k2-2k-1=k^2-2k-1=(k2-2k+1)-2=(k-1)2-2≧(3-1)2-2=2＞0故2k2＞(k+1)2，當k≧3時引理二：2n>n2，當n≧5時證明：n=5時，32>25成立假設n=k時成立，即2k>k2當n=k+1時，2k+1=2*2k＞2*k2＞(k+1)2(根據引理一)故n=k+1時亦成立，根據數學歸納法原理，原式成立-----原題開始證明-----n=1,2,3,4時，代入皆成立；當n≧5時，2n>n2(引理二)→2n*2n>2n*n2(兩邊同乘2n)→4n>2n*n2(且顯然5n>4n)→5n>4n>2n*n2→5n>2n*n2證明完畢

Answer 2

chuchu 指的是如果知道「2^n≧n^2」的話。
其實也不用除過去，只要：
5^n > 4^n = 2^n * 2^n ≧2^n * n^2
→ 5^n > 2^n * n^2（等號可以拿掉）

Answer 3

chuchu是把左式的2^n 再乘回右式..

Answer 4

版主:題目應該要說明n是正整數才能使用數學歸納法

Answer 5

請問:chuchu
n≧5，(5/2)^n＞2^n＞n^2
這個式子是怎麼列出來的呢??

Answer 6

chuchu的證法比較短捷簡妙，推崇之

Answer 7

n=1,2,3,4皆成立
n≧5，(5/2)^n＞2^n＞n^2
所以5^n＞(2^n)*n^2

若n為正整數，等號不會成立，不等式應該去掉相等的情形

Answer 8

這題回答的很棒

Answer 9

是要使用數學歸納法嗎?

那:
當n=1時，5^1 = 5, 2^1 * 1^2 = 2, 5>2 => n=1時本式成立
當n=2時，5^2 = 25, 2^2 * 2^2 = 16, 25>16 => n=2時本式成立

設當n=k時成立，
則當n=k+1時，
5^(k+1) = 5^k * 5
2^(k+1) * (k+1)^2 = (2^k * k^2) * 2 * (k+1)^2 / k^2
因(k+1)^2 / k^2 = (1+1/k)^2 在k>=2時小於 9/4
所以在k>=2時，5> 2*9/4 = 9/2 >= (k+1)^2 / k^2
所以5^(k+1) = 5^k * 5 > (2^k * k^2) * 2 * (k+1)^2 / k^2 = 2^(k+1) * (k+1)^2
(因5^k > (2^k * k^2))

所以根據數學歸納法，n為自然數時皆成立。

2006-06-15 00:29:38 補充：
9/4是來自k=2時，(k+1)^2 / k^2 = (2+1)^2 / 2^2 = 9/4

chuchu的解法比較短，不過需要知道(甚至證明)2^n>n^2 if n>4