[完全數定理]該怎樣證明啊??

Question

完全數定義:一數之所有的真因數的和等於原數註:真因數:除了原數以外的正因數完全數定理:當(2k-1)為質數時，2k-1(2k-1)就是完全數註:又上述的 K 必為質數我想問兩個問題...1.如何證明完全數定理...也就是為何2k-1(2k-1)都是完全數??2.為何上數之 K 必為質數呢??

問題二：
k為質數是充分條件，若k不是質數，這結論不一定對

但是我要問的就是 為何 K 必為質數呢?? 可以證明一下嗎??

Answer 1

我看大家又為了「名詞」傷惱經囉！我來重述一遍。
「若 P 成立，則 Q 成立」的敘述中，可以清楚看到二件事：
[1] P 只要對，Q 跟著對，所以稱為「Q 為 P 的必要條件」。
[2] P 只要錯，Q 不見得對，所以 P 能影響 Q 的真偽，稱「P 是 Q 的充分條件」。

本題中：我們知道
「當 2^k - 1 是質數時」，會得到二件事：
[1] k 為質數。
[2] 2^(k-1)*(2^k-1)為完全數。

所以只說「2^k - 1 是質數」是[1]、[2]的「充分條件」！

2006-06-15 22:49:34 補充：
因為「k 為質數」僅僅是「2^k - 1 是質數」的必要條件。
例如：k = 11 → 2^11 - 1 = 2047 = 23 * 89，可見 k 為質數沒有多必要。

關於這點，「天上掉下來的笨蛋」說的沒錯！

但是「 我的日子只有混」說的也沒錯，可是由他的推論也看不出
「k 為質數」是「2^(k-1)*(2^k-1)」的充分條件。

2006-06-15 22:49:43 補充：
換句話說，必須證明：
若「2^(k-1)*(2^k-1)」是完全數，則「k 為質數」。
其實這是對的，因為容易驗證的。
本題可以改成：
「2^k - 1 是質數」若且唯若「2^(k-1)*(2^k-1)」是完全數。
（其中 k 必為質數）

2006-06-21 00:55:51 補充：
[1]
若 N = (p1^n1)*(p2^n2)*…，其中 p1、p2、… 為不同的質數，則由「唯一分解定理」容易得知 N 所有正因數和為：
(1 + p1 + p1^2 + … +p1^n1)*(1 + p2 + p12^2 + … +p2^n2)*…
= (p1^n1正因數和)*(p2^n2正因數和)*…

也由此容易得知只要( m, n) = 1 → m*n的正因數和 = m正因數和 * n正因數和。

[2]
目前我們未發現「奇完全數」，也無從找起，但發現的「偶完全數」如：
6 = 2*3 = (2^1)*(2^2 - 1)：6 = 1 + 2 +3
28 = 4*7 = (2^2)*(2^3 -1)：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 16*31 = (2^4)*(2^5 - 1)：496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
所以僅僅能先猜測到底形如「 2 ^ ( k - 1 ) * ( 2 ^ k - 1)」到底是不是完全數！

首先假定如果它是，那麼由 [1] 式可以知道必須將 2 ^ ( k - 1 ) * ( 2 ^ k - 1) 分解成不同的質數再計算。由於（ 2 ^ ( k - 1 ) , ( 2 ^ k - 1)」）= 1 ，也就是二數互質，所以先計算 2 ^ ( k - 1 ) 的部分：

2 ^ ( k - 1 ) ： 1 + 2^1 + 2 ^ 2 + … + 2 ^ ( k- 1 ) = 2 ^ k - 1

由於完全數就是「正因數和 = 2 * 本身」，再假定 ( 2 ^ k - 1) 的正因數和為 A，則完全數 2 ^ ( k - 1 ) * ( 2 ^ k - 1) 的正因數和：

( 2 ^ k - 1) * A = 2 * 2 ^ ( k - 1 ) * ( 2 ^ k - 1) → A = 2 ^ k

換句話說 ( 2 ^ k - 1) 的正因數和為 A = 2 ^ k = (2 ^ k - 1) + 1 恰為 1 與本身之和。
也就是表示 ( 2 ^ k - 1) 它是一個質數（恰有 1 與本身二個正因數）
所以才發現這樣的定理：

「2 ^ k - 1 為質數」若且唯若「2 ^ ( k - 1 ) * ( 2 ^ k - 1) 為完全數」

所以其實本定理是一個互為「充要條件」的定理。

另一問題是「k 為何一定是質數？」因為如果「k 不是質數」，假定 k = ab，其中 a、b均大於 1。如此一來：
2 ^ k - 1
= 2 ^ ab - 1
= ( 2 ^ a ) ^ b - 1 ^ b
= ( 2 ^ a - 1) * [ ( 2 ^ a ) ^ ( b - 1) + ( 2 ^ a ) ^ ( b - 2) + … + 1 ]
為合數（因為 a、b 大於 1 的時候，上述二個刮號均大於 1）

所以僅僅只有「k 為質數」時，2 ^ k - 1才有機會是質數。又由於 2^11 - 1 = 2047 = 63 * 89 ，所以也不保證「k 為質數」時，2 ^ k - 1一定是質數。

所以是否 2 ^ ( k - 1 ) * ( 2 ^ k - 1) 為完全數，只要找出某個質數 k 讓 2 ^ k - 1 也是質數就保證是正確的！

【備註】
形如 2^k - 1 的質數稱為「梅仙數」，目前發現的數目不多，所以根本也無法得知到底有多少「偶完全數」。
有限？無限？

Answer 2

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

Answer 3

兩位名字真有相似性

Answer 4

我看不懂天下掉下來的笨蛋想做什麼？

1、”令k=a*b(a < b)，2^(a*b)-1=(2^a)^b - 1被2^a - 1整除，故a = 1 ”
沒有吧，誰說a一定等於1？
取a=2、b=3就破功了。

2、原命題是
"若2^(k)-1是質數，則2^(k-1)*(2^(k)-1)就是完全數"。
的確，k為質數不保證2^(k-1)*(2^(k)-1)為完全數；
但2^(k)-1是質數，保證k為質數，亦保證2^(k-1)*(2^(k)-1)就是完全數

所以「k為質數」是「2^(k-1)*(2^(k)-1)為完全數」的充分條件並沒有錯。
你可能哪裡誤會了。

Answer 5

"k為質數是充分條件,若k不是質數,這結論不一定對"
應該是必要條件吧
若2^(k-1)((2^k)-1)為完全數
有(2^k)-1為質數
令k=a*b(a < b)
2^(a*b) - 1 = (2^a)^b - 1被2^a - 1整除
故a = 1
也就是k為質數

若k為質數
"2^(k-1)((2^k)-1)為完全數"也不一定對
因為k為質數時
(2^k)-1不一定為質數
但若k不為質數
"2^(k-1)((2^k)-1)為完全數"一定不對

補充
(2^k)-1形式的質數稱為梅森質數

Answer 6

問題一：
預備定理：
若m,n是互質的正整數，f(m) 與 f(n)分別表示m,n的正因數和
則 f(m*n)=f(m)*f(n)

本題證明：
以 f(n)表示正整數 n 的所有正因數和
因為 2^(k) - 1 是質數
所以 f( 2^(k) - 1) = 1 + ( 2^(k) - 1 ) = 2^k
f( 2^(k-1) )=1+2+2^2+...+2^(k-1) = [2^(k) - 1]/(2-1) = 2^(k) - 1
因為 2^(k) - 1 和 2^(k-1)互質
由預備定理知
f( (2^(k-1) )*( 2^(k)-1) )
= f( 2^(k-1) ) * f( 2^(k)-1 )
= [ 2^(k) - 1] * (2^k)
= 2 * [2^(k-1)] * [ 2^(k) - 1 ]
根據完全數的定義：n是完全數<=>f(n)=2n
本題證畢

問題二：
k為質數是充分條件，若k不是質數，這結論不一定對

Answer 7

嗯...對不起...聽不太懂你的意思..
(2^5)-1=31
31是質數啊~5也是~
那你覺得有問題的是哪裡ㄚ?

2006-06-14 18:08:30 補充：
當k為質數
[2^(k-1)][(2^k)-1]才"有可能"是完全數

我的意思是這樣..

2006-06-17 18:44:04 補充：
To : chuchu
問題二：
k為質數是充分條件，若k不是質數，這結論不一定對

但是我要問的就是 為何 K 必為質數呢?? 可以證明一下嗎??

Answer 8

抱歉請你修正 因為 至少 (2^5)-1=31