關於333....3334平方的各位數字和的證明

Question

a=333.....3334，連續(n-1)個3後面接一個4，試證明a平方的各位數字和=6n+1例如3334平方=11115556，各位數字和=1+1+1+1+5+5+5+6=25=6*4+1

Answer 1

先將a分成1和33333....3,故可得
a=1+3+3*10+3*100+3*1000+....+3*10^(n-1)
=1+3(1+10+100+...+10^(n-1))
=1+3[(10^n-1)/(10-1)]
=(10^n+2)/3
接著將a平方
a^2=[(10^n+2)^2]/9 展開它
=(100^n)/9+4*(10^n)/9+4/9

接著要知道
10/9=1...1
100/9=11...1
1000/9=111...1
...
有幾個0就有幾個1,然後餘數=1
因此
(100^n)/9=2n個1+1/9
(10^n)/9=n個1+1/9
a^2=(100^n)/9+4*(10^n)/9+4/9
=(2n個1+1/9)+4*(n個1+1/9)+4/9
所以把所有位數的"數字和"加起來即為
2n+1/9+4n+4/9+4/9=6n+1

就這樣

Answer 2

可以用圖案的方式來說明嗎?

Answer 3

規律，只是歸納，不是證明。

2006-06-15 00:47:19 補充：
用圖案證明可以，用圖案說明不行。

Answer 4

如果可以直接看規律的話..
34^2=1156 即 n個1 (n-1)個5 跟 1個6
334^2=111556 n+5(n-1)+6
3334^2=11115556 =6n+1 @@