二十點)所謂的 ”反函數關係”是什麼意思?請舉三個反函數關係

Question

所謂的 \"反函數關係\"是什麼意思?請舉三個反函數關係
我的程度……剛學完微分在學對數。所以請舉我可以理解的例子。
可自創。
請先下定義解釋給我聽。之後再配合例子。
萬事拜託，在自學高中數學中。

Answer 1

所謂互為反函數關係, 請先看以下這個例子:
y=e^x <=>x=ln(y) 我們可以看出 這兩個函數其實是對等的
則我們可以說此二函數互為反函數關係, 你可能會發現
上面二函數的定義域跟值域剛好相反, 這個為反函數的重要性質

我們先來看反函數的定義:
令f為定義域為D的一個函數, 則f的反函數, 寫成g=f^(-1), 函數g定義為
g(f(x))=x , 對所有x屬於D
也就是說函數g的定義域為函數f的值域, 即g就是將f定義域裡的每一個x,
所得到的y=f(x), 再對應回去x
由以上性質, 一個函數如果要有反函數, 則它必須是1對1函數

就由上面所舉的例子來說:
我們說 函數 y=e^x 與 y=ln(x) 互為反函數關係
第一, 你會發現他們的定義域跟值域剛好相反
第二, f(f^-1(x))=x , 對任意x屬於range(f)
f^-1(f(x))=x , 對任意x屬於dom(f)
即 1n(e^x)=x , x屬於實數 => e^x的定義域=ln(x)的值域
e^(ln(x))=x , 對任意x>0 => ln(x)的定義域=e^x的值域
有沒有發現, 定義域跟值域剛好相反
再舉個例子, y=x^2有沒有反函數, 答案是沒有的
因為它不是一個1對1函數, 但如果我們把它的定義域縮小到x>=0
則發現它就有反函數 y=sqrt(x) [sqrt(x)為x開根號]
唯有函數1對1才能滿足反函數的定義
檢驗一下 剛的例子 y=x^2 與 y=sqrt(x)
=> sqrt(x)^=x , (sqrt(x))^2=x

最後, 再舉一個例子說明如何找反函數
其實最簡單的想法就是設法把變數間關係對調
請看以下例子:
例如f(x)=2x-4 , 我們要怎樣找他的反函數
當然 先確定他是否為1對1函數, 應該很容易判斷為是
接著把函數寫成 y=2x-4 (此時y是x函數)
=>2x=y+4 =>x=(1/2)*y+2 (此時x變成y的函數)
則 f的反函數為 f^-1(x)=(1/2)*x+2

希望有回答到你的問題, 如果有問題可再問我, 謝謝!!

Answer 2

兩個函數f(x)和g(x)同時符合下列條件，則稱f(x)和g(x)互為反函數：1.f(x)和g(x)都是一對一函數。(沒有一對多的情形)2.若a在f(x)定義域中，且f(a)=b，則必可保證g(b)=a。3.若c在g(x)定義域中，且g(c)=d，則必可保證f(d)=c成立。如何找出一個函數的反函數？(1)把f(x)換成y，(2)把x和y互換，(把y變為x，把所有的x變為y)(3)解y的方程式，(寫成y=.....的形式)(4)把y換成g(x)。舉例：一、f(x)=2x+3反函數(1)y=2x+3(2)x=2y+3(3)y=(x-3)/2(4)g(x)=(x-3)/2二、f(x)=2x+1反函數(1)y=2x+1(2)x=2y+1(3)兩邊取log10，logx=(y+1)log2=(y*log2)+log2logx-log2=y*log2y=log(x/2)/log2(4)g(x)=log(x/2)/log2三、f(x)=[log(x-3)]/2反函數(1)y=[log(x-3)]/2，(2)x=[log(y-3)]/2(3)2x=log(y-3)102x=y-3y=3+102x(4)g(x)=3+102x為了讓你了解，故意選複雜一點點的式子。

Answer 3

反函數就是做反運算的意思
三個例子如:三角函數的反函數為反三角函數
指數的反函數為對數
微分的反函數為積分