三角函數証明題(請給我過程喔)

Question

cos(A)+cos(B)+cos(C)=0
sin(A)+sin(B) +sin(C)=0
求證
sin(A+B) = sinC

聽說是用力美弗定理 請問要怎樣証明捏

對不起 題目抄錯
求證
sin(A+B) = sin(2C)

Answer 1

令Z1=cosA+isinA,Z2=cosB+isinB,Z3=cosC+isinCZ1,Z2,Z3的長度皆為1由題意知 Z1+Z2+Z3=0Z1+Z2=-Z3 長度也為1故Z1,Z2,Z1+Z2所構成的三角形為正三角形Z1,Z2的夾角為120度同理Z2,Z3的夾角也是120度Z1,Z3的夾角為120度於是可以假設B=C+120度A=B+120度=C+240度A+B=2C+360度sin(A+B)=sin2C

Answer 2

也謝謝其他人給ㄉ意見ㄛ

Answer 3

sinA+sinB=-sinC => sin²A+2sinAsinB+sin²B=sin²C
cosA+cosB=-cosC => cos²A+2cosAcosB+cos²B=cos²C
相加 => 2+2(cosAcosB+sinAsinB)=1
=> cos(A-B)=-1/2 ...(*)

2006-06-15 23:34:28 補充：
sinA+sinB=-sinC
cosA+cosB=-cosC
相乘 => sinAcosA+sinAcosB+sinBcosA+sinBcosB=sinCcosC
=> sin2A+sin2B+2sin(A+B)=sin2C
=> 2sin(A+B)cos(A-B)+2sin(A+B)=sin2C [和差化積]
=> 2sin(A+B)[cos(A-B)+1]=sin2C [*]
=> sin(A+B)=sin2C