因式分解x^4+5x^3+12x^2+14x+8

Question

因式分解x4+5x3+12x2+14x+8請嚴謹。

怎樣觀察？怎麼十字交乘？

Answer 1

如果一次因式檢驗法不行
用強制分解的
令
原式(x^2+ax+2)(x^2+bx+4)
則由各項係數可知
4a+2b=14 (x的係數)------1
6+ab=12 (x^2的係數)------2
a+b=5 (x^3的係數)------3
由1.3式可聯立解出
a=2 b=3
帶入2式驗證無誤
所以答案應該寫
(x^2+2x+2)(x^2+3x+4)

ps
為什麼要取2和4呢
其實剛開始做應該先找8的因數(含正負)
因為所有的係數都為正
所以先取正因數
通常因式分解都會先猜兩因術差最小的
所以選2和4
後來驗證後
其他的因數都不行
都會有一些矛盾的地方
雖然方法濫了一些
不過可以做出來的

Answer 2

(x^2+a*x+b)*(x^2+c*x+d)
=x^4+(a+c)*x^3+(b+d+a*c)*x^2+(b*c+a*d)*x+b*d
建議
(1)首先觀察常數項，分解為 b*d之可能
(2)再來觀察 x^2項係數扣減 b+d後，分解為 a*c之可能
(3)檢查 x^3項係數是否剛好等於 a+c，如果是就成功了
但有兩種可能 (x^2+a*x+b)*(x^2+c*x+d)或(x^2+a*x+ d)*(x^2+c*x+b)
(4)最後檢查 x 項係數是否等於b*c+a*d (十字交乘)以決定兩種可能的那一種

上述法則比二次因式分解難很多，須多熟練體驗應用價值
或許寫成上下可方便操作，我不好畫
x^4+ 5x^3+12x^2+14x+ 8
1 _______ a _______ 2
1 _______ c _______ 4
x^4+ 5x^3+12x^2+14x+ 8
________ - 6 (x^2項係數12扣減 b+d)
------------- 6 (分解為 a*c)
------------- 2
------------- 3
-----2+3=5 (OK) <=== ( x^3項係數)
1 _______ 3 _______ 2
1 _______ 2 _______ 4
最後 check (b*c+a*d) (十字交乘) =14 <=== (x 項係數)

得 (x^2+3*x+2)*(x^2+2*x+4)

Answer 3

你怎麼不從(-1)*(-8)開始試呢？
萬一不巧它偏偏就是負的呢？

Answer 4

令x^4+5x^3+12x^2+14x+8=(x^2+ax+8)(x^2+bx+1)
=>ab+9=12
a+8b=14
a+b=5
a,b無法同時滿足此三個方程式,不合
令x^4+5x^3+12x^2+14x+8=(x^2+ax+4)(x^2+bx+2)
=>a+b=5
2a+4b=14
ab+6=12
=>a=3,b=2
∴x^4+5x^3+12x^2+14x+8=(x^2+3x+4)(x^2+2x+2)

2006-06-11 00:08:46 補充：
因為該多項式係數全為正,故(-1)(-8),(-4)(-2)很明顯的都不可能

Answer 5

(x^2+3*x+4)*(x^2+2*x+2)
為什麼 因為他不存在實數一次根
因此若有 則為2*2次形式
十字交乘 或觀察法就出來了

Answer 6

應該無法分解程有理係數吧
用牛頓一次因是檢驗法
代入負2負4負8皆無解阿
所以應該是無法分解