微積分反函數題目

Question

let f,g be function from R to R, and f(g(x))=x, 且每一x屬於R
證明
1. f 是one to one
2. f 是onto
3. g 是one to one
4. g 是onto

政大應數91年轉學考微積分一卷

Answer 1

1.對於所有x,y屬於R,假設f(g(x)=f(g(y))=>x=f(g(x))=f(g(y))=y=>x=y故g(x)=g(y),f is one to one2.對於所有y屬於R,存在g(y)屬於R(∵g is funcyion from R to R),使得f(g(y))=y=>f is onto3.考慮g(x)=g(y),對於所有x,y屬於R由1,2,f is one to one and onto,∴f 的反函數f-1存在又f(g(x)=x,g(x)=f-1(x),對於所有x屬於R∴f-1(x)=g(x)=g(y)=f-1(y)=>f-1(x)=f-1(y)∵f-1也是one to one,∴x=y=>g is one to one4.對於所有y屬於R,存在f(y)屬於R,使得f(y)=x故y=f-1(x)=g(x),即對於所有y屬於R,存在x屬於R,使得g(x)=y=>g is onto