幫我解代數證明題（準備高中甄選的）

Question

證明：
1^83+2^83+3^83+......+81^83+82^83+83^83是1+2+3......+81+82+83的倍數。

那為何
1^83+2^83+........+83^83
=(1+2+3+........+83)*83

Answer 1

一組數之和若能被X整除，則這組數之個別數除以X，其餘數相加也會是X的倍數。
EX.11+36+71+102=220能被11整除。其個別除以11之餘數和為0+3+5+3=11。
本題
1+2+3......+81+82+83=(1+83)83/2=42x83

(1)證明1^83+2^83+3^83+......+80^83+81^83+82^83+83^83為83的倍數：
83^83除以83之餘數為0
82^83=(83-1)^83除以83之餘數(-1)^83=-(1^83)
81^83=(83-2)^83除以83之餘數(-2)^83=-(2^83)
80^83=(83-3)^83除以83之餘數(-3)^83=-(3^83)
........
42^83=(83-41)^83除以83之餘數(-41)^83=-(41^83)
這些餘數相加等於0。
所以1^83+2^83+3^83+......+80^83+81^83+82^83+83^83為83的倍數。

(2)證明1^83+2^83+3^83+......+80^83+81^83+82^83+83^83為42的倍數：
83^83=(42x2-1)^83除以42之餘數(-1)^83=-(1^83)
82^83=(42x2-2)^83除以42之餘數(-2)^83=-(2^83)
81^83=(42x2-3)^83除以42之餘數(-3)^83=-(3^83)
......
43^83=(42x2-41)^83除以42之餘數(-41)^83=-(41^83)
42^83除以42之餘數為0
這些餘數相加等於0。
所以1^83+2^83+3^83+......+80^83+81^83+82^83+83^83為42的倍數。

由(1)、(2)得知：
1^83+2^83+3^83+......+81^83+82^83+83^83是1+2+3......+81+82+83的倍數。


ps.我的寫法不是很好，不過方向大概是這樣。

2006-06-10 12:56:23 補充：
我沒說(83-1)^83等於83^83+(-1)^83喔。
這是有關二項展開式。
(a+b)^n乘開，除了第一項跟最一後項是a^n、b^n，其餘都是a^xb^(n-x)的項，所以只有最後一項b^n不是a的倍數。所以把每一個數的b^n加起來，若是ａ的倍數，那麼這組數的和也會是a的倍數。

Answer 2

有別的作法1+2+3+....+83=83*42=83*7*2*3根據Fermat小定理，ap≡a(mod p)，其中p是質數，a是任意整數因此183+283+383.....+8383≡1+2+3+.....+83≡0(mod 83)183+283+383......+8383≡183+283+383+(-3)83+(-2)83+(-1)83+083+183+283.....+8383(每六項就對消掉，第七項自己是0)≡0(mod 7)183+283+383......+8383有41個偶數，「42」個奇數，故總和可被2整除。183+283+383......+8383≡183+(-1)83+0^83+183+(-1)83+083.....+8383(每兩項就對消掉，第三項自己是0)≡0(mod 3)故183+283+383......+8383是83,7,2,3的公倍數，而四個質數兩兩互質，亦即可被83*7*2*3整除。

Answer 3

1^83+2^83+........+83^83 =(1+2+3+........+83)*83
取log
左式=
log1^83+83log2^83+......log83^83
=log(1^83*2^83......*83^83)
=log(1*2*...*83)^83
=83log(1*2...*83)
右式=
log1*83+log2*83+........+log83*83
=log1+log83+log2+log83+......+log83+log83
=log83^83+log(1*2*....*83)
=log(1*2*...*83)*83^83 <==(這邊就很矛盾了...)

Answer 4

歹勢看太快搞錯符號了@@"

2006-06-10 00:01:36 補充：
(83-1)^83不等於83^83+(-1)^83

Answer 5

不是1的83次方 那樣看起來好像變成1*83了ㄝ一一 還是另有..什麼