解數學競試題目

Question

詳解寫得很迂迴，看不懂。
題目為：
在所有正整數n中，能使得n^2+9n為完全平方數的n有哪些？

那(2n-2k+9)(2n+2k+9)=81是如何得來？
我對代數比較沒概念。

Answer 1

用個簡單的「國中方法」來解決：
「解」
因為 n 為正整數，則得到：

n ^ 2 ＜ n ^ 2 ＋ 9n ＜ n ^ 2 ＋10n ＋25 ＝ (n＋5) ^ 2

又因為 n^2 ＋9n 為「完全平方數」，也就是「正整數的平方」，所以得到：

(1) n ^ 2 ＋ 9n ＝ ( n ＋ 1 ) ^ 2 ＝ n ^ 2 ＋ 2n ＋ 1 → n ＝ 1 / 7（不合）
(2) n ^ 2 ＋ 9n ＝ ( n ＋ 2 ) ^ 2 ＝ n ^ 2 ＋ 4n ＋ 4 → n ＝ 4 / 5（不合）
(3) n ^ 2 ＋ 9n ＝ ( n ＋ 3 ) ^ 2 ＝ n ^ 2 ＋ 6n ＋ 9 → n ＝ 3
(4) n ^ 2 ＋ 9n ＝ ( n ＋ 4 ) ^ 2 ＝ n ^ 2 ＋ 8n ＋ 16 → n ＝ 16

所以僅僅「n ＝ 3」、「n ＝ 16」符合：
[1] n ＝ 3： n ^ 2 ＋ 9n ＝ 36 ＝ 6 ^ 2 。
[2] n ＝ 16： n ^ 2 ＋ 9n ＝ 400 ＝ 20 ^ 2 。

2006-06-10 02:25:41 補充：
在提供另一個方法：假設存在正整數 n、m 使得：n^2 + 9n = m^2 → n^2 + 9n - m^2 = 0 …（A）換句話說方程式 x^2 + 9x - m^2 = 0 有整數解，所以由公式解得知：x = { -9 ± √[ 9^2 - 4*1*(-m^2) ] } / 2 = { -9 ± √[ 81+4m^2) ] } / 2 是整數

2006-06-10 02:26:08 補充：
→ √[ 81+ 4m^2) ] = y是正整數→ y^2 - 4m^2 - 81 = 0→ ( y + 2m)( y - 2m) = 81→ y + 2m = 81、y - 2m = 1或 y + 2m = 27、y - 2m = 3→ m = 20 或 m = 6 代回式子（A）→ n = 3 或 n = 16

Answer 2

因為 n^2+9n 為完全平方數
假設 n^2+9n=(n+9/2)^2-81/4=1/4[(2n+9)^2-81]=k^2
其中 n, k 為正整數
(2n+9)^2-4k^2=81
(2n+9+2k)(2n+9-2k)=81
兩組聯立方程式
(1)2n+9+2k=81
2n+9-2k=1
=>n=16,k=20
(2)2n+9+2k=27
2n+9-2k=3
=>n=3,k=6

Answer 3

因為n2+9n為完全平方數令n2+9n=k2n2-k2+9n=0(2n-2k+9)(2n+2k+9)=81所以2n-2k+9=1,2n+2k+9=81得 n=16或2n-2k+9=3,2n+2k+9=27得 n=3