請問對無理數做輾轉相除會怎樣呢？

Question

有a,b兩個無理數，存在唯一一組整數q(商數)和實數r(餘數)，滿足a=bq+r，且0≦r＜b對b,r也做同樣的運算，重複下去，直到餘數為0。例如a=34√3，b=13√334√3=2*13√3+8√313√3=1*8√3+5√38√3=1*5√3+3√35√3=1*3√3+2√33√3=1*2√3+√32√3=2*√3+0但是如果a=√3，b=√2，會有怎樣的結果呢？會什麼會這樣呢？

"會"什麼會這樣呢？
→"為"什麼會這樣呢？

Answer 1

先從你出的例子來看，a= 34√3，b= 13√3，
按你設下的規則得到一最大數√3，使得 a / √3 = 34、b / √3 = 13皆為整數。
然而此時你求得的√3既不是整數亦不是有理數，而是"無理數"，
且此時所求得的 √3 > 1。

再來看 a= √3，b= √2。
很顯然的不存在另一無理數 q > 1，使得 a / q 、b / q 兩數為整數。
再考慮，是否存在一無理數 q < 1，使得 a / q 、b / q 兩數為整數？

若a= √3，b= √2
√3 = 1 * √2 + ( √3- √2 )；
√2 = 4 * ( √3- √2 ) + ( 5 √2 - 4√3 )；
√3- √2 = 2 * ( 5 √2 - 4√3 ) + ( 9√3 - 11√2 )；
5 √2 - 4√3 = 4* ( 9√3 - 11√2 ) + ( 49√2 - 40√3 )；
..
..
如此反覆做下去，假設得到一式
A = B * Q + R
隨著運算的次數增加，R越來越小，只有在無限多次後，R的極限值才為零。
Q 雖然比 R 大，但事實上 Q 的極限也是零。
換句話說，不管你再怎樣算下去，R永遠不為零。

結論：在有限次的運算下，不存在一數使用√2、√3為該數的整數倍。