數學大會考3小學~高中(因式分解,整數論,排列組合,邏輯)

Question

大家好！我是綜合喵貓！有人說我怎麼高中出題好像都是那幾章唉呀沒辦法　我認為那些比較實用有趣或章節比例較重嘛以後喵貓會考慮加進別的範圍請不要翻到次頁！（貓老大：次頁是哪一頁？）聽從監試喵貓的指示再開始作答！（喵貓：開始作答吧＝　＝）１．（小學）喵貓，咕雞，汪狗想吃巧克力，但是必須符合這些規定：　Ａ．如果喵貓吃，咕雞也要吃　Ｂ．咕雞或汪狗必須吃，但是不能都吃　Ｃ．喵貓或汪狗至少有一者要吃　Ｄ．如果汪狗吃，喵貓也要吃那麼到底哪些可以吃呀？　（７分）２．（小學）試計算（２０００－４０００）（２０００－３９９９）（２０００－３９９８）．．．．．（２０００－１）（２０００－０）的值　（每項之間皆為乘）（８分）３．（國中）試求（３１０＋２１０）１００除以７的餘數（１５分）４．（國中）因式分解ｘ８＋６８ｘ４＋２５６　（１５分）５．（國中）用以下金額各可付出幾種款項？　（第一小題）１元２個，５元一個，１０元四個，５０元一個　　　（５分）　（第二小題）１元２個，５元五個，１０元四個，５０元７個　（１５分）６．（國中）證明：一個數改變其順序後與原數之和不可能是１０２００６－１　（改變順序例如１２３４變成３４２１等）（１０分）７．（高中）一樓梯有８階，某人上樓一次可走１～３階（腳太長）　則此人走完此樓梯的方法有幾種？（１５分）８．（高中）ｘ為實數，試求ｔａｎｘｓｉｎｘｃｏｓｘ之範圍（１０分）喵嗚

緊急更正：（６）的１０的２００６次方─１
請更改為１０的２００７次方－１

要有前瞻性所以２００６不好

Answer 1

1.
Ａ．如果喵貓吃，咕雞也要吃
Ｂ．咕雞或汪狗必須吃，但是不能都吃
Ｃ．喵貓或汪狗至少有一者要吃
Ｄ．如果汪狗吃，喵貓也要吃
假如讓喵貓吃：
依照A咕雞也要吃
B,C則暫時符合(也許是符合)
因為汪狗沒吃,所以符合
第一個結論：喵貓跟咕雞吃
假如讓汪狗吃：
A點暫時符合
B點也暫時符合
C點也暫時符合
依照D喵貓也要吃
喵貓吃，依照A點咕雞也要吃
可是這時咕雞跟汪狗都有吃，不符合B點
第二個結論：所以不可以給汪狗吃
Ans：喵貓和咕雞可以吃

2.
（２０００－４０００）（２０００－３９９９）

（２０００－３９９８）．．．．．（２０００－１）（２０００－０）
中間一定有2000-2000
2000-2000=0
而0乘於任何數都是0
所以（２０００－４０００）（２０００－３９９９）

（２０００－３９９８）．．．．．（２０００－１）（２０００－０）
= 0
Ans： 0

3.
3的10次方是
3×3×3×3×3×3×3×3×3×3
=9×9×9×9×9
=81×81×9
=59049
2的10次方是
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
=4×4×4×4×4
=16×16×4
=1024
59049+1024=60073
60073×60073×60073........60073×60073×60073(有100個60073)
60073÷7=60073/7=8581又6/7
Ans： 6(抱歉，我是一個小五生，不太會算這題跟下面的題目)

2006-06-13 17:05:22 補充：
第三題重打........我問我爸爸後知道的3的10次方≡9的5次方≡2的5次方≡32的1次方≡4(mod7)2的10次方≡32的2次方≡4的2次方≡16的1次方≡2(mod7)(4+2)的100次方≡36的50次方≡1的50次方≡1的1次方≡1(mod7)Ans： 1

2006-06-13 17:45:09 補充：
第五題的第一小題：１元２個，５元一個，１０元四個，５０元一個1元...可以2元...可以（1+1）3元...不可以4元...不可以5元...可以6元...可以（5+1）7元...可以（5+1+1）8元...不可以9元...不可以10元...可以1×2+5×1+10×4+50×1=2+5+40+50=97結論：有3元、4元、8元、9元都不可以 金額不能超過97元

2006-06-13 17:46:39 補充：
承上面：不可以付的有：3元、4元、8元、9元、13元、14元、18元、19元、23元、24元、28元、29元、33元、34元、38元、39元、43元、44元、48元、49元、53元、54元、58元、59元、63元、64元、68元、69元、73元、74元、78元、79元、83元、84元、88元、89元、93元、94元共38種97-38=59Ans： 59種

2006-06-15 20:31:20 補充：
抱歉跳著打第七題：一次走完→沒有兩次走完→沒有三次走完→有→3,3,2→3！÷2！=3（3步，3步，2步有三種走法）四次走完→1,2,2,3→4！÷2！=12 →1,1,3,3→4！÷2！×2！=6 →2,2,2,2→4！÷4！=1五次走完：→1,1,1,2,3→5！÷3！=20 →1,1,2,2,2→5！÷2！×3！=10

2006-06-15 20:35:03 補充：
六次走完：→1,1,1,1,2,2→6！÷4！×2！=15→1,1,1,1,1,3→6！÷5！=6七次走完：→1,1,1,1,1,1,2→7！÷6！=7八次走完：→1,1,1,1,1,1,1,1→8！8！=13+12+6+1+20+10+15+6+7+1=81Ans： 81種

Answer 2

第8題可以寫清楚一點嗎?
我還以為是
tan(x*sin(x*cos(x)))

2006-06-14 03:07:26 補充：
怎麼沒人寫5-2?
我來寫好了
當錢數n<400時
50元的硬幣數足夠湊
不需要用10元,5元,1元來補
故總共可以取
(7+1)(4+1)(1+1)(2+1)=240種錢數
.50元.10元..5元..1元
又當n>400時
湊完400後剩下
5元3個,1元2個
但2個5元等價於1個10元
故可以取
(1+1)(1+1)(2+1)=12種
.10元.5元..1元
總共可以取252種(包含0元)

2006-06-14 03:13:44 補充：
喵貓你是打算要考競賽嗎
這種題目還是簡單了一點喔

還有競賽書中所謂的應具備能力
指的是要考競賽的學生應具備能力
不是全部的學生都會

2006-06-18 02:48:04 補充：
確實大部分題目都是無聊又沒意思
我來出一題吧
設s = (1 + √5) / 2
證明任意的正整數總可以唯一的用s的整數冪次的和來表示
例如
1 = s^0
2 = s^1 + s^(-2)
3 = s^2 + s^(-2)

2006-06-18 02:56:52 補充：
"唯一的"應該去掉

如果答出來的話
可以到這裡回答
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1206061802050&r=w

Answer 3

說真的　數學解題其實還不算什麼利害
出題目的人才是真正利害的大師
再次地推崇發問者　 捷運劍潭站的喵貓

Answer 4

基本上我也都稱你為喵貓

Answer 5

下次題目出爐時間請預告一下，我也來玩玩。
能不能多點邏輯問題，或機智問答。
來亂ㄝ！

Answer 6

我以前就叫你喵貓了厚，是你沒注意到....
你終於不用全形字啦！
你都出這種我不能拿滿分的題目，所以不陪你玩了，挫敗ing
1.雞貓吃，狗不吃
由條件B開始，
若狗吃→雞不吃(B)且貓吃(D)→雞吃(A)
雞不吃且雞吃，矛盾。
所以狗不吃→雞吃(B)且貓吃(C)
沒有矛盾(那D呢？這是陷阱，你管它！)，那就這樣了

2006-06-07 23:50:12 補充：
不對，你數字還是用全形，看來這是你的習慣....
2.
零
都2006年了，別再玩這種老套吧

3.
餘數是1
這有國中方法？你把國中生看得太強了。
恕我才疏學淺，沒辦法用國中方法，除非那個國中生是Gauss
3^10≡9^5≡2^5≡32≡-3(mod 7)
2^10≡2*8^3≡2(mod 7)
(-3+2)^100≡1(mod 7)

2006-06-08 00:09:04 補充：
可是我排列組合最弱了.....
又懶....

2006-06-08 00:24:31 補充：
要有前瞻性所以2006不好
你再唬嘛！
真的是因為前瞻性嗎？
3366+6633=9999
333666+666333=999999

2006-06-08 01:09:53 補充：
6.證明：一個數改變其順序後與原數之和不可能是10^2007-1
10^2007-1=999.....999(2007個9)
假設存在這樣的數，則它必然是一個2007位數(2006位數以下相加頂多2*(10^2006-1)，不夠大；2008位數則是太大)，
假設該2007位數為(a1)(a2)(a3).....(a2007)，
則改變順序後為99....99-(a1)(a2)(a3).....(a2007)
各位數由左到右必然分別為(9-a1),(9-a2),(9-a3)....(9-a2007)

2006-06-08 06:46:30 補充：
這表示，改變順序前和改變順序後，第i位數都是一對補數
(比方改變順序前，第77位數是3，那麼改變順序後，
第77位數必然是6)
因此若原先的2007個數，0,1,2,3,4分別有p,q,r,s,t個，
則5,6,7,8,9必然分別有t,s,r,q,p個
總共有2*(p+q+r+s+t)=2007個數
故2007是一個偶數，矛盾。 得證。
同時也得證你不是因為什麼前瞻性才改數字的，因為7623+2376=9999=10^4-1
哼哼！我還真的一度相信你的前瞻性

2006-06-08 07:32:43 補充：
有你的，(sinx)^2/0*0=(sinx)^2
這個去分母過程並不成立，x=(2k+1)pi/2一開始就不在定義域中，我居然沒看到這個藏起來的0。

2006-06-08 20:50:18 補充：
給喵貓以及所有看到這篇留言的網友們：
我在奇摩知識+的所有回答和意見(主要是數學方面，但不限於數學方面)，如果您覺得適合引用的，都可以引用，只要註明是奇摩知識+的克勞棣所寫即可。
克勞「棣ㄉㄧˋ」，不是「隸ㄌㄧˋ」，是明成祖朱棣的棣，朱元璋的第四個兒子，發動靖難之役，跟姪兒搶皇位，雄才大略的朱棣，英文名字叫Judy的朱棣。

2006-06-08 21:29:52 補充：
喔！對喔！我上次跟你講過那些話，
對不起，最近睡不好，腦筋鈍鈍，眼睛花花

先來分解一個很好玩的東西，x^4+4k^4，其中k是非0整數
(不要背公式啦！用解的。)
它必然沒有一次因式，若不然，設為(ax-b)，
則(b/a)^4=-4k^4(矛盾，實數四次方不會是負的)
因此，若可分解，必然是二次式乘二次式(因為一次式乘三次式不可能)，

2006-06-08 21:32:45 補充：
設x^4+4k^4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
右式乘開得到x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd
a+c=0→a=-c
b+d+ac=0→b+d=a^2
ad+bc=0→ad=ab
a必然不為0，不然b+d=0^2→b=-d→bd=-b^2=4k^4(矛盾，負數=正數)
因此ad=ab→(同除a)b=d→(已知b+d=a^2)2b=a^2
bd=4k^4→b^2=4k^4→b=±(2k^2)
若b=-2k^2，則2b=-4k^2=a^2(矛盾，負數=正數)

2006-06-08 21:36:13 補充：
故b=d=2k^2，2b=4k^2=a^2，不失一般性，取a=2k，則c=-a=-2k
故x^4+4k^4=(x^2+2kx+2k^2)(x^2-2kx+2k^2)
(沒想到寫嚴謹點、詳細點，居然頗長，怪不得老師老是要學生背公式)

所以第四題
x^8+68x^4+256
=(x^4+64)(x^4+4)
=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)

2006-06-08 21:48:06 補充：
對呀！故意不用常見的音譯字，因為我心地跟朱棣一樣毒辣唷！哼哼....
還派鄭和去追殺朱允炆，他對得起他大哥朱標嗎？(是的，癩痢頭的26個兒子的名的部首都是木，下一代都是火)
木火土金水,木火土金水傳了10代，最後葬送在朱由「檢」身上。木始木終。
這套命名法還挺科學的，沒想到那個癩痢頭想得出來，結果清朝又拿去用

好像離題太遠了

2006-06-08 21:50:58 補充：
不是不理，而是我奇摩信箱堆了太多垃圾信，又很少有人寄正常信給我，所以我很久才看一次。
再說你內容寫hi，如題，是要回什麼呢？我又不知道你想做啥？

2006-06-09 22:38:42 補充：
第4份了說

那個x^4+4k^4
這樣分解不是比較快嗎?
是比較快呀！但請你分解x^4+5x^3+12x^2+14x+8看看

2006-06-18 02:23:00 補充：
既然這樣你還拿來出題？
我覺得不無聊呀！
挺有趣的。

Answer 7

前瞻性是啥?

2006-06-08 19:42:47 補充：
我也叫你喵貓阿...我還叫你貓哥勒..XD

2006-06-08 19:43:22 補充：
怎ㄇ沒人回答 = =都只在這討論- -|||

Answer 8

喵貓,你還真有心

Answer 9

緊急更正：（６）的１０的２００６次方─１
請更改為１０的２００７次方－１

要有前瞻性所以２００６不好

2006-06-07 22:59:32 補充：
終於有人叫我喵貓了．．．（哭）

其他人都把我叫成喵喵

（其實也滿可愛的啦！）

2006-06-07 23:29:11 補充：
坐2006望2007

2006-06-07 23:44:49 補充：
嗚嗚嗚喵貓眼花

原來有三個人叫我喵貓了

2006-06-07 23:56:52 補充：
克勞棣兄只要多花心思想要滿分不難吧!

我這份最高頂多只出到二項式定理

2006-06-08 07:15:23 補充：
唉唷！別那麼狠嘛！
第八題終於有點作用了嗎？

這是喵貓自己出的三題的其中一題

＜恕我不知道其他人有沒有出過＞

排列組合很重要耶！

去學好嘛！

2006-06-08 07:27:01 補充：
克勞棣麻煩再看一次因式分解題好嗎！
別亂改題目嘛！

其實我第三題是從國中競賽數學找的

他裡面就說國中生應有能力

透過（ａ＋ｂ）的ｎ次展開公式

察覺（ａ＋ｂ）的ｎ次方除以ａ

的餘數是ｂ的ｎ次方的能力

2006-06-08 19:31:32 補充：
1.呼叫克勞棣,看到請寄信給我.

我寄給你怎麼都沒反應.

2.給摯愛珍和克勞棣:兩位在喵貓會考

裡的回答可否引用

2006-06-08 20:57:22 補充：
那克勞棣的英文名字

cloudy嘛?

2006-06-08 21:41:35 補充：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306060814559

喵貓的第四份試題出爐

2006-06-08 21:41:57 補充：
cloudy大哥都不理寄信的嗎?

2006-06-14 16:20:27 補充：
這是台灣無聊又沒意思的數理資優班考試程度