數學問題，急！(排列組合)！20點

Question

1.若直線 ax+by=17，可從 0.1.2.3.5.7等六個數字取不同的值，則這些方程式所表
示之直線共幾條？

2.從\"sophomore\"一次取三個字母，將這三個字母排成一列，有幾種排法？

3.10個身高不同的人排成衣列，若較矮的人不被較高的人夾在中間
則排法有幾種？(答案是512....why?)

4.有5張卡片支正反兩面分別寫著0與1、2與3、4與5、6與7、8與9，任取其中3張
排成三位數，可排成幾個不同的三位數？

5.丟一骰子三次，分別得點數a,b,c澤點(a,b,c)落在球面(x-5)^2+(y-5)^2+(z-5)^2=17 上的情形有幾種？

Answer 1

1. 　P 6取2＝6！/4！= 720/24= 30種
2. sophomore→ ooo sphmre
(▲ ★ ●)→Ｐ7取3= 7*6*5= 210 7→osphmre 7個字母
分成 (▲ ▲ ★)→ 3！/ 2！*6 =18 6→7個字母選走1個 剩6個可選
(▲ ▲ ▲)→ 1個 1→3個字母相同 所以是1個
總共 210+18+1= 229個
3. 以10為中心 (10是最高者,9次之,8第三.....依此類推)
o o o o o 10 o o o o 剩下的9人1~ 9有兩邊(10的左邊或右邊)可選
(選好邊之後,會自動排好)
1→2邊
2→2邊
.
.
.
9→2邊
所以→2*2*2*2*2*2*2*2*2= 2^9=512
4. 先挑排C5選3(5張選3張)=10
每張選一面
Ｃ2選1*C2選1*C2選1 → 2*2*2= 48
48*10= 480
因為是3位數 ,所以不能有013 024.....依此類推
所以要扣掉０□　□
　　　　　　　　↑
(0與1那張排必選 ) 再來就是Ｃ４選2= 6
其中選除來的兩張排各選一面 Ｃ２選1*Ｃ２選1*2！= 8 　　　　　　　　　 2！→因為選出來的排可以對調位置
6*8= 48
最後480- 48( 0為首)= 432
5. 17= 0^2 + 1^2 + 4^2 點數為(a.b.c)
= 2^2 + 2^2 + 3^2 (5.4.1) → 3！= 6
(5.6.1) → 3！ = 6
(2.3.3.) →3！/ 2！ = 3
總共 6+ 6+ 3 = 15
Ans. 1. 30 2. 229 3. 512 4. 432 5. 15
( 我自己算的,希望你看的懂 )

Answer 2

是從九個字母中取三個

不是九個字母全排！

Answer 3

1.
因為0.1.2.3.5.7兩兩互質，所以任意取兩個組成的直線間，彼此都不會有重疊
所以P(6，2)=30

2.
"sophomore"共九字母，其中O重複三次，9！/3！
4.
先不考慮不為首的問題，全部的排列方法有P(5，3)2^3 ∵會乘2^3是因為三張牌正反面問題
其中0為首的排列數有P(4，2)╳2^2 ∵從四組挑兩組，兩組各有其正反面
P(5，3)2^3 -P(4，2)╳2^2 =452
P(5，3)2^5-P(4，2)╳2^4

5.
一骰子三次，分別得點數a,b,c澤點(a,b,c)落在球面(x-5)^2+(y-5)^2+(z-5)^2=17 上的情形有幾種？
17=0^2+1^2+4^2
也就是(x-5)、(y-5)、(z-5)會等於{0，±1，±4}
若X-5=0，X=5
若Y-5=±1，Y=4或6
若Z-5=±4，Z=1(另一解9不合)
但我們知道這三組解是可以調換的→3！
而第二組因為有兩解，所以3！*2=12