數學千古大難題－高手請進

Question

觀察以下規律
(2^0.5 -1)^1=2^0.5 -1^0.5
(2^0.5 -1)^2=9^0.5 -8^0.5
(2^0.5 -1)^3=50^0.5 -49^0.5
(2^0.5 -1)^4=289^0.5 -288^0.5
(2^0.5 -1)^5=1682^0.5 -1681^0.5
(2^0.5 -1)^6=9801^0.5 -9800^0.5
試證明：對於所有的K屬於整數(2^0.5 -1)^K=N^0.5-(N-1)^0.5 其中N是某一整數
所有的減號改成加號似乎也成立？？？
請高手證明吧！也請順便「簡短」的告訴我：為什麼？

所以說，在這裡數學歸納法派不上用場？

Answer 1

這不止是正確的，而且也可以確實知道 N 的值。
我們假設有正數 A、B 滿足：

( √2 + 1)^n = √A + √B ……… (1)
( √2 - 1)^n = √A - √B ……… (2)

只要證明：[1] A、B為正整數 [2] A - B = 1 就完成的！

[2] 先證明 A - B = 1：

（式子(1) + 式子(2)）2√A = ( √2 + 1)^n + ( √2 - 1)^n
（式子(1) - 式子(2)）2√B = ( √2 + 1)^n - ( √2 - 1)^n

二邊取平方

4A = ( √2 + 1)^(2n) + ( √2 - 1)^(2n) + 2 ……… (3)
4B = ( √2 + 1)^(2n) + ( √2 - 1)^(2n) - 2 ……… (4)

所以

（式子(3) - 式子(4)）A - B = 1

[1] 因為 A = B + 1，其實只要證明 B 是正整數就可以了：

（由式子(4)，並利用「二項式」定理）
4B
= ( √2 + 1)^(2n) + ( √2 - 1)^(2n) - 2
=｛C(2n,2n)*(√2)^(2n) + C(2n,2n-1)*(√2)^(2n-2) + … + C(2n,0)｝
+｛C(2n,2n)*(√2)^(2n) - C(2n,2n-1)*(√2)^(2n-2) + … + C(2n,0)｝- 2
= 2*｛C(2n,2n)*[2^n]+ C(2n,2n-2)*[2^(2n-1)] + … + C(2n,0)｝- 2

因為組合數 C(2n,2n)、C(2n,2n-2)、C(2n,0)必為正整數，且C(2n,0) = 1，所以

C(2n,2n)*[2^n]+ C(2n,2n-2)*[2^(n-1)] + … + C(2n,0)

必形為 2K+1 的正整數(K為正整數)

因此

4B = 2*(2K + 1) - 2 = 4K → B = K 也為正整數。

綜上所述，可以寫成下列定理：
[定理]
對於任意正整數 n 有下列性質
[1]( √2 + 1)^n = √A + √B
[2] ( √2 - 1)^n = √A - √B
其中 A = B + 1 且正整數 B = C(2n,2n)*[2^(n-1)]+ C(2n,2n-2)*[2^(n-2)] + … + C(2n,2)

[檢驗]
取 n = 3 → 則 B = C(6,6)*[2^2] + C(6,4)*2 + C(6,2) = 49
所以有( √2 + 1)^3 = √50 + √49 以及 ( √2 - 1)^3 = √50 - √49

[備註]
已經是盡己所能的「最簡化了」，希望能幫上忙！

2006-06-06 21:54:09 補充：
Pierce 所言甚是，若僅僅用 式子(1)*式子(2) 的確可以較容易得到 A - B 的值，但無法知道 A、B 分別是多少，所以為了 更清楚知道 A、B 的值（也就是 N），故採用「加法」，謝謝指教！

2006-06-06 21:54:13 補充：
Pierce 所言甚是，若僅僅用 式子(1)*式子(2) 的確可以較容易得到 A - B 的值，但無法知道 A、B 分別是多少，所以為了 更清楚知道 A、B 的值（也就是 N），故採用「加法」，謝謝指教！

2006-06-06 21:57:20 補充：
怎麼重複二次？？在本題使用「歸納法」不容易證明。

2006-06-06 22:01:26 補充：
其實如果可以接受「二項式定理」的話：(x+y)^n=C(n,n)*x^n+C(n,n-1)*x^(n-1)*y+…+C(n,0)*y^n(x-y)^n=C(n,n)*x^n-C(n,n-1)*x^(n-1)*y+…+(-1)^n*C(n,0)*y^n很容易看的出來下面補充的一個「一般化」性質。

2006-06-06 22:08:43 補充：
對任意正整數 N 以及 n，必唯一存在正整數 K，使得：(√(N+1) - √N )^n = √(K+1) - √K其中 K+1 =｛C(n,n)*[√(N+1) ]^n+C(n,n-2)*[√(N+1) ]^(n-2))*[√N]^2+…｝^2K =｛C(n,n-1)*[√(N+1) ]^(n-1)*√N+C(n,n-3)*[√(N+1) ]^(n-3))*[√N]^3+…｝^2

2006-06-06 22:32:41 補充：
上面補充「+」的也對！舉例來說，取 N＝5、n＝3，則：K+1＝｛C(3,3)*(√5)^3 + C(3,1)*(√5)*(√4)^2｝^2＝1445所以得到（√5 - √4）^3＝√1445 - √1444以及（√5 + √4）^3＝√1445 + √1444

Answer 2

A - B = 1的證明直接（1）x（2）比較快，
[( √2 + 1)( √2 - 1)]^n= (√A + √B)(√A - √B)
=>1^n=1=A-B