關於兩個廣義的費氏數列的證明(20點)

Question

數列滿足fn=fn-1+fn-2，f1=1，f2=1數列滿足an=an-1+an-2，a1=1，a2=3證明(an)2-5*(fn)2=4*(-1)n

Answer 1

因為為同一種類型的遞迴數列，所以直接解開即可。
均為 Bn = Bn-1 + Bn-2 → x^2 = x + 1 → x = ( 1 ± √5 ) / 2
令 C = ( 1 + √5 ) / 2、D = ( 1 - √5 ) / 2，則：
[1]Fn = p*C^n + q*D^n（F1 = F2 = 1）→ p = - q = 1 / √5
[2]An = s*C^n + t*D^n（A1 = 1、A2 = 3）→ s = t = 1

所以 (An)^2 - 5*(Fn)^n = ( C^n + D^n )^2 - ( C^n - D^n )^2 = 4*(CD)^n = 4*( -1 )^n

Answer 2

取α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2，
解差分方程式得：
f(n)= (α^n-β^n)/√5；
a(n)= ((3-β)*α^(n-1)-(3-α)*β^(n-1))/√5= ((2+α)*α^(n-1)-(2+β)*β^(n-1))/√5= f(n)+2f(n-1)。

a(n)^2-5f(n)^2= (f(n)+2f(n-1))^2-5f(n)^2
分項依次整理，即可得a(n)^2-5f(n)^2=4*(-)^n。

2006-06-11 09:15:15 補充：
訂正一個小錯誤，最後一行
a(n)^2-5f(n)^2=4*(-1)^n

另補述α、β為 x^2-x-1=0 之兩根，故有α+β=1、αβ=-1、α^2-α-1=0、β^2-β-1=0

Answer 3

我想到一個解法，有點曲折，也許有更好的證明方式

f3=f2+f1
f4=f3+f2=2f2+f1
f5=f4+f3=3f2+2f1
...
可設 fn=xn f2 + yn f1 = xn + yn (n>=3)
同理 an=xn f2 + yn f1 = 3xn + yn
所以 題目左式 = (3xn + yn)^2 - 5*(xn + yn)^2 = 4(xn^2 - yn^2 - xn*yn)

考慮 xn, yn 如下
x3 = 1　　y3 = 1
x4 = 2　　y4 = 1
x5 = 3　　y5 = 2
x6 = 5　　y6 = 3
...
顯見 xn = x(n-1) + x(n-2),　　yn = y(n-1) + y(n-2)
且x(n-1) = yn

故 xn^2 - yn^2 - xn*yn = xn^2 - x(n-1)^2 - xn*x(n-1)
　= [xn + x(n-1)]*[xn - x(n-1)] - xn*x(n-1)
　= [2x(n-1) + x(n-2)]*x(n-2) - [x(n-1) + x(n-2)]*x(n-1)
　= (-1) * [x(n-1)^2 - x(n-2)^2 - x(n-1)x(n-2)]
　= (-1)^(n-4) * (x4^2 - x3^2 - x4x3)
　= (-1)^(n-4)

所以左式 = 4 * (-1)^(n-4) = 4*(-1)^n

2006-06-05 09:55:57 補充：
顯見 xn = x(n-1) + x(n-2),　　yn = y(n-1) + y(n-2)且x(n-1) = yn補充：這個部份可用數學歸納法證明之...