數學-期望值的小問題

Question

甲、乙兩人棋鼓相當，某日兩人舉行比賽四場先勝三場者得獎金一千元今比賽一場後，甲先勝一場但因故停賽則應該如何分配獎金才公平！（包含和局的可能性）！

必須計算和局的可能！

甲勝、乙勝、和局機率皆相等，即1/3！
共比賽四場，和局也算一場！
這是題意．
剩下的就交給各位高手了！

和局是指 ＂一場＂ 比賽棋藝相當 ＂不分勝負＂

Answer 1

如果繼續比賽下去(1)甲3:0獲勝的機率為1/4(2)甲3:1獲勝的機率為1/4(3)甲3:2獲勝的機率為3/16所以繼續比賽下去甲獲勝的機率為11/16因此獎金分配甲得1000*(11/16)=687.5元乙得1000*(5/16)=312.5元

Answer 2

公佈解答為"和局就平分"

2006-06-14 22:11:58 補充：
真正的解答的確是這樣！
只不過詳細的計算
我明天有空會把它貼上來！

2006-06-16 21:51:17 補充：
平手即是和局，獎金按理說是對分
－－－－－－－－－－－－－－
甲已經贏了一勝
所以你的２７種中的
剩下三場甲三勝是沒有意義的

2006-06-16 21:56:26 補充：
popo的答案有考慮到和局

甲3:0獲勝的機率為1/4

也就是說剩下三場中
甲贏兩場一場和局或提早結束
情況為　甲甲　機率只有(1/2)^2
所以為1/4

Answer 3

他的意思大概是甲贏、乙贏、和局的機率都是1/3吧！
但是問題是如果把和局算進去，可能四場中甲乙各贏一場，和局兩場，這樣誰都拿不到錢，這算什麼比賽規則呢？

2006-06-06 11:15:34 補充：
題意還是不完整，
如果剩下三場甲乙各贏一場，和局一場，
或是乙贏兩場，和局一場，
或是乙贏一場，和局兩場，
或是甲贏一場，和局兩場，
這一千元給誰？
比賽規則應該是如果四場都能比完，則甲乙恰有一人能全得1000元吧？

Answer 4

和局的可能性你沒講清楚

旗鼓相當只能表明贏和輸機率相等

和局機率可以是10%...20%

50%...甚至兩人每下必和都可以是旗

鼓相當


這樣人家怎麼算?

Answer 5

甲先勝一場，
那麼接下來的三場比賽結果共有八種，
甲甲甲，甲甲乙，甲乙甲，甲乙乙，乙甲甲，乙甲乙，乙乙甲，乙乙乙。
且每一種結果機率均八分之一，
這八種結果加上甲第一場勝的結果，
可以得知甲贏的機率有4/8，
乙贏的機率只有1/8，
和局的機率為3/8，
故甲乙分的獎金比例應該為4/8:1/8=800:200。

2006-06-05 15:29:55 補充：
捷運站的喵喵說得沒錯，你的和局指的是(1)一場比賽中的和局，也就是平手的意思?還是指(2)四場比賽後結果2:2的和局?我的答案是考慮第二種情形，每一場一定有勝負，下去算的。若是第一種情況，就得再補充一場比賽中平手的機率，那題目就比較複雜了點。

2006-06-10 16:15:51 補充：
假如是甲勝、乙勝、和局機率皆相等，即1/3這種情況！＠＠～那剩下三場共有3^3=27種情況。a甲甲甲，a甲甲乙，a甲甲和，a甲乙甲，b甲乙乙，a甲乙和，a甲和甲，a甲和乙，a甲和和。a乙甲甲，b乙甲乙，a乙甲和，b乙乙甲，c乙乙乙，c乙乙和，a乙和甲，c乙和乙，b乙和和。a和甲甲，a和甲乙，a和甲和，a和乙甲，c和乙乙，b和乙和，a和和甲，b和和乙，a和和和。

2006-06-10 16:16:05 補充：
所以四場下來結果甲可以贏的情況有17種=>甲個數大於等於乙即可。排列中標有a記號者。平手的結果有6種=>乙比甲多一個即可。排列中標有b記號者。乙勝的結果有4種=>乙比甲多兩個以上。排列中標有c記號者。所以甲贏的情況：乙贏的情況=17:4因此甲應該分得1000x17/21=809.5238=810乙應該分得1000x4/21=190.4762=190。

2006-06-16 12:37:05 補充：
POPO的答案應該是用沒有和局的情況去得到的。
所以共有八種情形，而甲可以拿到三勝的情況有四種，乙拿三勝情況有一種，平手有三種。
加上平手是獎金對分。所以甲三勝：乙三勝：平手=4：1：3=500：125：375。
甲可得500+1/2(375)=687.5
乙可得125+1/2(375)=312.5。

2006-06-16 12:41:20 補充：
所以若有和局的情況。應該共有27種結果。其中符合三勝跟平手的結果共14種。甲三勝：乙三勝：平手=7:1:6=7000/14:1000/14:6000/14
甲可得7000/14+1/2(6000/14)=10000/14
乙可得1000/14+1/2(6000/14)=4000/14

2006-06-16 22:38:31 補充：
那能麻煩你把全部能分得獎金的狀況都列出：
甲三勝、乙三勝、跟平手的狀況。
而且popo甲3:2獲勝的機率為3/16，只比四場哪來的3：2。
我只是覺得這題這樣的解答我想不透，想搞清楚。
麻煩你了。