費波那契數列之二

Question

大家好！我是兔喵貓！既然我誠心誠意的發問了，你們就大發慈悲的回答喵貓吧！１．證明數列中相鄰的兩費波那契數互質２．令Ｆａ，Ｆｂ，Ｆｃ依序為數列中相鄰三項證明：（Ｆｂ）２和Ｆａ乘以Ｆｃ的差為±１，且此差正負交錯出現．

Answer 1

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1105060710924

2006-06-04 13:02:15 補充：
1.假設存在2以上的正整數d，使得d|f(n+1)且d|f(n)則d|f(n+1)-f(n)，即d|f(n-1)，同理可得d|f(n-2)且d|f(n-3)......且d|f(2)且d|f(1)，即d|1，矛盾，故數列相鄰兩項唯一的公因數只有1，亦即兩者互質。2.利用f(a+b)=f(a+1)f(b)+f(a)f(b-1) 分別以a+1=b=n和a'=b'+1=n代入， 故f(2n-1)=f(n)2+f(n-1)2=f(n-1)f(n+1)+f(n-2)f(n) 再移項，f(n-1)2-f(n-2)f(n)=-[f(n)2-f(n-1)f(n+1)]也就是說，任取連續三項，中間平方減頭尾相乘，每往前推一項，便差一個負號，所以f(n)2-f(n-1)f(n+1)=-[f(n-1)2-f(n-2)f(n)]=......=±[f(2)2-f(1)f(3)]=±(1-1*2)=±1

2006-06-04 13:12:03 補充：
第二題的方法同時也證明了第3項以後的奇數項必為連續兩項的平方和。