前幾項正負相間的廣義菲波那契數列的問題(20點)

Question

有一數列滿足an+2=an+1+an，a1=65432123456，a2=-40439276252，則該數列的前幾項會正負相間，請問：(1)第幾項開始才會永遠同號？恆為正數還是恆為負數？(2)若改變a1和a2的值(但兩者仍然異號)，請問經過有限項後，數列各項恆為負數的充分必要條件是什麼？並證明之。(如果太難證明就算了)

我是問a1和a2符合什麼條件，經過有限項後，數列各項恆為負數？

Answer 1

A(n+2)=A(n+1)+A(n)
A1=65432123456
A2=-40439276252
A0=A2-A1=-105871399708

A(n)=p*r1^n+q*r2^n
where r1 & r2 are the roots of xx=x+1
r1=(1+sqrt5)/2, r2=(1-sqrt5)/2

A0=p+q=-105871399708
A1=r1*p+r2*q=65432123456
==> p = (-105871399708*r2-65432123456)/(r2-r1)
= -0.031171748...

q= (65432123456+105871399708*r1)/(r2-r1)
= -105871399707.969...

An=p*r1^n+q*r2^n
|r1|>1
|r2|<1
p<0 ==> 第2k項開始才會永遠恆為"負數"
==> p*r1^2k+q*r2^2k <0
==> r1^2k+(q/p)*r2^2k >0
==> (r1/r2)^2k>-(q/p)
==> k> log(-p/q)/log|r1/r2|/2 =14.99023639
k=15
2k=30
第30項開始才會永遠恆為負數

(2)若改變a1和a2的值(但兩者仍然異號)，請問經過有限項後，數列各項恆為負數的充分必要條件是什麼?
p<0

2006-06-12 19:29:17 補充：
請問經過有限項後，數列各項恆為負數的充分必要條件是什麼? A1=r1*p+r2*qA2=r1^2*p+r2^2*qp=(A1*r2^2-A2*r2)/(r1*r2^2-r2*r1^2)=(A1*r2-A2)/r1(r2-r1) <0A1*(1-sqrt5)/2 > A2 A1+ A2*(1+sqrt5)/2 <0 ....充分必要條件 ##

2006-06-14 19:39:50 補充：
若有一數列Bn= p*2^n+ q*(-0.5)^n)
請問經過有限項後，數列各項恆為負數的充分必要條件是什麼?
p<0

這樣有懂嗎?

Answer 2

(1)比較簡單 可以先回答
在第30項,是-114892
31項是-58656 之後就都是負的摟

2006-06-05 18:16:48 補充：
(2)的必要條件是||a1||<=||a2|| if a2<0||a1||>||a2|| is a2>0充份條件..應該不存在吧? 因為並不是只有a1和a2異號時才會有恆負的數列阿...

2006-06-11 17:35:04 補充：
修正一下如果a1<0, a2>0: a1<2a2a1<0, a2<0: 恆成立a1>0, a2<0: 必需找到fn*a1+f(n+1)*a2<0及f(n+1)a1+f(n+2)a2<0才成立其中f(n)表示以1,1為首項的費式數列