費波那契數列與盧卡斯數列

Question

大家好！喵貓又來了！費波那契數列：（１，１，２，３，５，８，１３．．．）盧卡斯數列：（１，３，４，７，１１，１８．．．）除了開頭兩項是１和３外，後面各項也是前兩項相加試證明：除了１和３外，此兩數列不會出現同樣的數字．（不必同項也不可能）

既然自己都知道不是證明何需用回答,發表在意見即可.

由此"推理"而出,恕喵貓我沒有這個推理能力

Answer 1

不是吧！
兩個數列連續兩項比值絕對值都是趨近黃金比例。
事實上，所有滿足A(n+2)=A(n+1)+A(n)的遞迴數列(廣義的費氏數列)都是這樣吧！
就算你首兩項選(344/97)和(－133/37)這種怪數字也是一樣。

2006-06-04 17:35:23 補充：
感謝上一位給我靈感！證明當n為3以上時，F(n+1)
2006-06-05 08:07:55 補充：
發現到一件很有意思的事，L(n)/F(n)趨近於根號5。

Answer 2

我不自量力一下吧..
對任一個盧卡斯數列(叫它Lk好了)和任一個費波那契數列(叫它Fk)而言

1. F(k+2)>L(k) 當k>3時成立 (這個可以用歸納法 k=4時成立 設k=i時成立
k=i+1時F(i+1)=F(i)+F(i-1)>L(i-2)+L(i-3)=L(i-1) 就得證)

2. F(k+1)2時成立 (一樣用歸納法)

3. F(k)1時成立 (還是歸納法)

所以 L(k) 在k>3時, 從比它大到比它小的F(i)中沒有與它相等的
所以在L數列中任一個L(k)都找不到與它相等的F(k) 前提是k>3
至於k=3的情況單獨挑出來列一下就知道都不相同

結束 請參考

Answer 3

證明好像不太可能 因為他的數列就是這樣

費波那契數列和盧卡斯數列的比較

１　１　２　３　５　８　１３　２１　３４　５５　８９　１４４　２３３
１　３　４　７　11　18　２９　４７　７４　 121　 195　 ３１６　５１１


很明顯的看的出來　　　這兩個數列　　只有在前面幾項

數字比較接近　　越後面　　就算是不同項　　　數字也有差距

費波那契數列越後面　　越趨近於１．６１８

但是盧卡斯數列越後面是越趨近於１．６３

所以兩數列的比較　　可以由此推理而出

2006-06-04 22:26:55 補充：
原來可以這樣證明@"@