試證明:完全數的所有因數倒數和為2

Question

大家好！我是完全喵貓！既然我誠心誠意的發問了，你們就大發慈悲的回答喵貓吧！試證明:（１）完全數的所有因數倒數和為2很簡單的一個小練習吧！（２）試證明（１）的敘述其逆亦為真這個比較有挑戰了嗎？還是對各位高手一樣簡單？

哦！那第二題呢？

Answer 1

假設： S為完全數, 其所有因子的集合為：{1，A1，A2，...，An，S }故：　S = 1+A1+A2+...+An  (完全數之定義)設各因數之倒數和為X：　X = 1/A1+1/A2+...+1/An+1/S等號兩邊同時乘以S：SX=S/1+S/A1+S/A2+…S/An+S/S ……………. 算式(1)故：S/A1ε{A1，A2，...，An }同樣的：S/A2ε{A1，A2，...，An }；　…　… …　　　；S/Anε{A1，A2，...，An }{ S/A1，S/A2，…，S/An}為整數之集合，其每一個元素皆屬於{A1，A2，...，An }，且集合元素個數相同，故兩集合體相等：{ S/A1，S/A2，…，S/An}= {A1，A2，...，An }(即{S/A1，S/A2…，S/An}為S的所有因子的集合) 算式(1) ： SX=S/1+ S/A1+S/A2+…S/An+S/S =S+(A1+A2+...+An+1)=S+S=2S等號兩邊同時除以S：X=2 … 各因數之倒數和為X=2，故得證。 

2006-06-04 00:31:09 補充：
豪哥:晚安!
偶爾隨性一下..見笑了!
只是二十多年前的線代,高微,偏微,拓樸,統計,迴歸分析,nonparameter,.都忘的光光的了..歎息啊!

2006-06-04 00:52:14 補充：
反之 :也是同理的..---------假設： S 為整數, 其所有因子的集合為：{1，A1，A2，...，An，S }依題意:設 X 為各因子的倒數之和:即 X=1/1+ 1/A1+1/A2+…1/An+1/S .....算式(2)若 X=2 須證明其為完全數：～　即 當 X=2 時,證明 S=1+A1+A2+...+An (完全數之定義)

2006-06-04 00:52:57 補充：
因:　2 = 1/A1+1/A2+...+1/An+1/S等號兩邊同時乘以S：2S=S/1+S/A1+S/A2+…S/An+S/S 整理: 2S=S+S/A1+S/A2+…S/An+1 ,移項 => S=1+S/A1+S/A2+…S/An ……………. 算式(3)因為：S/A1ε{A1，A2，...，An } 同樣的：S/A2ε{A1，A2，...，An }；　…　… …　　　；S/Anε{A1，A2，...，An }

2006-06-04 00:53:18 補充：
{S/A1，S/A2，…，S/An}為整數之集合，其每一個元素皆屬於{A1，A2，...，An }，且集合元素個數相同，故兩集合體相等：{ S/A1，S/A2，…，S/An}= {A1，A2，...，An }(即{S/A1，S/A2…，S/An}為S的所有因子的集合)即:算式(3) ： S=1+S/A1+S/A2+…S/An = 1+A1+A2+...+An =S (完全數之定義) ,故得證..

2006-06-09 07:59:06 補充：
也夠"賺吃"了..("專家"的台語..)

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

完全數：某數除了自己以外的所有因數總和 = 某數

Answer 5

各位前輩(大師)好
沒想到你們都是數學系的

我這個小小高中生要更用功了...

Answer 6

我用比較直觀的方法第一題考慮完全數p，若正整數a,b滿足p=ab，易知1/a=b/p且1/b=a/p；亦即把1/a和1/b的分母擴分成p，則其分子必互為對方。p=a1b1=a2b2=....=anbn，因此1/a1 + 1/a2 +....+ 1/an + 1/b1 + 1/b2 +....+ 1/bn=b1/p + b2/p +....+ bn/p + a1/p + a2/p +....+ an/p=(Σai+Σbi)/p，i=1到n=2p/p=2◎根據完全數的定義「某正整數是完全數，若且唯若其正因數總和為自身的2倍」，因此(Σai+Σbi)=2p第二題同理，若某數m=a1b1=a2b2=....=anbn，且正因數倒數和1/a1 + 1/a2 +....+ 1/an + 1/b1 + 1/b2 +....+ 1/bn=b1/m + b2/m +....+ bn/m + a1/m + a2/m +....+ an/m=(Σai+Σbi)/m，i=1到n=2則其正因數總和(Σai+Σbi)=2m，根據完全數的定義，m為完全數。事實上，任意正整數的正因數倒數和=其正因數總和除以該正整數。

2006-06-07 20:41:52 補充：
我不是數學系的，所以我不是大師。
不過我在大學也幾乎沒學到本科系該知道的知識，都在玩.....

Answer 7

閒雲大師,你怎麼跑來這邊插花?

Answer 8

完全數事什東西....開根號是整數的數嗎.....