”五全三角形”之最小整數解

Question

大家好！我是三角喵貓！既然我誠心誠意的發問了，你們就大發慈悲的回答喵貓吧！三角形中有六個元素（三個邊三個角）試問：若有兩個三角形中有五個元素相等，但卻不全等，且兩三角形之三邊長皆為整數，求此兩三角形之最小整數解．注意：只要求五個元素相等，並未要求對應相等如１，１，根號２的三角形和根號２，根號２，２的三角形就有四個元素相等（有一邊為根號２，三角皆相等）

Answer 1

一個三角形邊長8-12-18，另一個邊長12-18-27，不知是不是最小的？

2006-06-03 14:53:23 補充：
想法是這樣，唯一不相等的元素必然是一邊，不然就SSS全等了。也就是SSAAA(相似三角形，兩邊三角相等)。假設一個三邊是a,b,c，另一個是b,c,d，SSAAA只能是a:b:c=b:c:d即b^2=ac且c^2=bd，代入可得b^3=da^2，慢慢代，但是尚須符合兩邊和大於第三邊。不嚴謹之處請見諒，好題目就難免想搶頭香......

2006-06-03 15:10:29 補充：
不失一般性令a<=b<=c，看得出a,b,c,d呈等比數列，又因為a+b>c，則公比必須小於黃金比例1.618，則取公比為1或3/2。1不行，會使a=b=c=d；則公比是3/2，經過三次的相乘，第四項仍為整數，則首項最小值8，所以"應該"是最小整數解沒錯。

Answer 2

幫克勞棣補足最小性的證明:
若(a,b) = 1
必有c=(b^2 / a)為整數
故a = 1
三邊為1,b,b^2
易見對b>1
1 + b < b^2
因此(a,b)不為1
令(a,b) = s
a = ms , b = ns , c = ps , d = qs
則p = (n^2 / m) , d = (n^3 / m^2)
因為(m,n) = 1
所以(s / m^2)為整數
又若m = 1
(a,b,c) = s 可將s約掉變回(a,b) = 1的情況
故m不為1

2006-06-16 01:25:45 補充：
考慮s = 4得到m = 2
a = 8 , b = 4n , c = 2n^2
由a + b = 2(4 + 2n) > 2n^2
得到 2(n^2 - 2n + 1) < 10
(n - 1)^2 < 5
1 = m - 1 < n - 1 < 2
因此n = 3為唯一解
得a = 8 , b = 12 , c =18 , d = 27
又若s >= 9
有a + b + c > 3a >= 9 * 2 * 3 = 54 > 8 + 12 + 18
證畢

Answer 3

如果有你怎麼辦

Answer 4

根本沒有這樣的兩個三角形!死了心吧!