排列組合機率 (只有一題)

Question

大家好！我是排組機喵貓！既然我誠心誠意的發問了，你們就大發慈悲的回答我吧！假設有ｎ個人，每人各自擁有一件外觀相同的物品現將所有物品隨機混合再每人抽回一件設每人都沒拿到自己物品的機率為ｘ例：ｎ＝１，ｘ＝０　　ｎ＝２，ｘ＝１／２　　ｎ＝３，ｘ＝１／３則當ｎ趨近於無限大時，ｘ＝？為什麼？

第一個回答者：別鬧了！

真是這樣喵貓學了九年的數學可以拿去燒了！

Answer 1

每人都沒拿到自己物品，就是錯排列
設n個人沒拿到自己物品的機率為x(n)
n=2，x(2)=[C(2,0)*2!-C(2,1)*1!+C(2,2)*0!] / 2! = 1/2
n=3，x(3)=[C(3,0)*3!-C(3,1)*2!+C(3,2)*1!-C(3,3)*0!] / 3! = 1/3
..................
x(n)
={ C(n,0)*n! - C(n,1)*(n-1)! + C(n,2)*(n-2)! - ... + [(-1)^n]*[C(n,n)*0!] } / n!
=(1/2!)-(1/3!)+....+[(-1)^n] / n!

e^x的冪級數表示式為
(e^x) = 1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+....+(x^n/n!)+.... ，對所有實數x是絕對收斂的
令x=-1 ，得 1/e = (1/2!)-(1/3!)+.....+[(-1)^n]/n!+....
所以 lim{n→∞} x(n)=1/e

Answer 2

另外兩個的回答，和楚楚等級差太多了

Answer 3

chuchu 回答的真好

Answer 4

利用每次取兩個人
偶數
C(n,2)*C(n-2,2)...*C(4,2)*C(2,2)/n!
n=2 x=1/2 n=4 x=1/4 n=6 x=1/8 n=8 x=1/16...n=n x=1/2^n
當n為無限大時，取極限得到x->0
奇數 剩3各人時只有2種組合
C(n,2)*C(n-2,2)...*C(5,2)*2/n!
n=3 x=1/3 n=5 x=1/6 n=7 x=1/12 n=9 x=1/24...n=n x=1/3*2^(n-4)
當n為無限大時，取極限得到x->0

Answer 5

用極限解

ｎ＝１，ｘ＝０

ｎ＝２，ｘ＝１／２

ｎ＝３，ｘ＝１／３...................
列式:
lim1/N=0
這是高中課程喔~~