微積分的證明

Question

試證明方程式:x7+x5+x+1恰有一個實數根

寫錯了,應該是x^7+x^5+x+1=0

用微積分方法解會比較快

Answer 1

f(x)=x^7+x^5+x+1 ==> f'(x)=7x^6+5x^4+1因 f(x) 為連續函數且 f(-1)=-2<0 ; f(0)=1>1 由勘根定理知,至少存在一數 c 在 (0,1) 間,使得 f(c)=0 即 x=c 為 x^7+x^5+x+1=0 的實根  假設 x^7+x^5+x+1=0 在 (0,1) 內有兩實根 c ,d 且 01 ≠0  (矛盾)故 x^7+x^5+x+1=0 在 (0,1) 內有兩實根 c ,d 的假設錯誤即 x^7+x^5+x+1=0 不可能有兩個或兩個以上的實根得證 x7+x5+x+1恰有一個實數根 

Answer 2

比較簡單的辦法(目前我知道的辦法都是這樣做)
是將這個方程式寫成矩陣形式
[x^7 x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x]^T
=[0 -1 0 0 0 -1 -1
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0]*[x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x 1]^T
令[x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x 1]^T=y,中間那個矩陣=A
=> xy=Ay換句話說,變成一個求eigen value的問題
那所有可能的x解就是A矩陣的eigen value
後面就是乖乖把它算出來,發現它只有一個實根

至於要怎麼算eigen value...這個有點複雜 要在這邊解釋太花時間
建議去找找"qr step"這個東西 會有說明
大致上是用household矩陣將A轉成unreduced形式後再用QR分解去做

做個參考吧