一題遞迴數列求和問題(15點)

Question

數列，An+1=An+1，A1=1，令ΣAn=A1+A2+A3+.....+An數列，Bn=ΣAn，令ΣBn=B1+B2+B3+.....+Bn數列，Cn=ΣBn，令ΣCn=C1+C2+C3+.....+Cn數列，Dn=ΣCn，令ΣDn=D1+D2+D3+.....+Dn求ΣDn=？(以n表示)

Answer 1

又是牛頓向前階差(Newton's Forward Difference Formula)的一個例子

Answer 2

克勞棣能想到這樣已經相當不錯了。An為a+b<=n-1之非負整數解的個數，即a+b+c=n-1之非負整數解的個數，即H(3,n-1)Bn為a+b+c<=n-1之非負整數解的個數，即a+b+c+d=n-1之非負整數解的個數，即H(4,n-1)同理Cn= H(5,n-1), Dn= H(6,n-1) 

Answer 3

原來如此
真有趣

Answer 4

就知道你會這樣寫，這樣寫不夠瀟灑ㄝ
An=C(n,1)，ΣAn=C(n+1,2)
Bn=C(n+1,2)，
Cn=ΣBn
=C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+....+C(n+1,2)
=C(3,3)+C(3,2)+C(4,2)+....+C(n+1,2)
=C(4,3)+C(4,2)+...+C(n+1,2)
=C(5,3)+....+C(n+1,2)
=C(n+2,3)
同理，
Dn=C(n+3,4)，ΣDn=C(n+4,5)
美麗的數學，美麗的結果。