證明下面這題題目...

Question

設a.b.c.....m是連續正整數
　　１　１　１　　　１
證明---＋---＋---＋....+---不可能等於整數
　　ａ　ｂ　ｃ　　　ｍ

Answer 1

命題：若m,n是正整數，且m＜n，則 1/m + 1/(m+1) + ... + 1/n不是整數
證明：
(1)若(n/2)＜m＜n，令[n/2]+1=k
1/m + 1/(m+1) + ... + 1/n ≦ 1/k + 1/(k+1) + ... + 1/n ＜ (n/2)*1/(n/2)=1，不是整數
(2)若m≦n/2
假設1/m + 1/(m+1) + ... + 1/n是整數
因為最小公倍數 [m , m+1 , ... , n]=2^a*r，a是正整數，r是正奇數
且[m , m+1 , ... , n]*(1/m + 1/(m+1) + ... + 1/n))=奇數+偶數=奇數
但 [m , m+1 , ... , n]是偶數，矛盾
由(1),(2)知命題成立

Answer 2

a~m恰有一數為13的倍數，因此假設m為13的倍數
假設 1/a + 1/b +...+ 1/m = k ，k為整數
則 1/a + 1/b +... + 1/L = k- 1/m
=> (通分後的分子)/abc...L = (km-1) / m 其中 ( km-1 , m ) = 1 最大公因數
則可知 abc...L = m 的倍數 ，但 a~L中無13的倍數，則可知矛盾
因此假設錯誤，故 k 不為整數