連續三整數兩兩互質，平方和除以96的餘數

Question

a,b,c是連續三整數，且(a,b)=(b,c)=(c,a)=1，試證明(a2+b2+c2)除以96的餘數是2或14或50

Answer 1

設ａ＝ｋ－１、ｂ＝ｋ、ｃ＝ｋ＋１　　，ｋ是整數∵(a,b)=(b,c)=(c,a)=1　∴ｋ是偶數＝２ｈ，ｈ是整數∴(a2+b2+c2)＝[(ｋ－１)2+ｋ2+(ｋ＋１)2)]＝３ｋ2＋２＝12ｈ2＋２以４分割整數ｈ，分成４ｔ、４ｔ±１、４ｔ＋２(1)當ｋ＝4ｔ(a2+b2+c2)＝12ｈ2＋２＝12(４ｔ)2＋２＝192ｔ2＋２＝９６*2ｔ2＋２∴餘數＝２(2)當ｋ＝４ｔ±１∴餘數＝１４(3)當ｋ＝４ｔ＋２(a2+b2+c2)＝12ｈ2＋２＝12(４ｔ＋２)2＋２＝192ｔ2＋192ｔ＋48＋２＝９６*２*(ｔ2＋ｔ)＋５０∴餘數＝５０∴無論ｋ是任何偶數（ｈ是任何整數），餘數可能為２、１４、５０(a2+b2+c2)＝12ｈ2＋２＝12(４ｔ±１)2＋２＝192ｔ2±96ｔ＋12＋２＝９６*(2ｔ2±ｔ)＋１４

Answer 2

連續三整數而且兩兩互質，所以必為奇偶奇的形式。
可知連續三整數可為以下型態(2n-1)..2n..(2n+1)
n為整數
(2n-1)^2+(2n)^2+(2n+1)^2
=12n^2+2
討論n^2必可寫成以下形式
8a.8a+1.8a+2.8a+3.8a+4....8a+7
8a...餘數2,8a+1餘數14,8a+2餘數50,8a+3餘數14,
8a+4餘數3,8a+5餘數14,8a+6餘數50,8a+7餘數14