問一個詭異無窮級數的問題

Question

請問無窮級數
1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1....的最終數值為？
是發散還是收斂數列？

抱歉～打字時沒注意到～
是"發散還是收斂「級數」"才對…

Answer 1

你的問題本身就很詭異....數列是數列，級數是級數，是不一樣的意義，你頂多只能說把數列各項加起來可構成級數，所以任何的無窮級數都既不是收斂數列，也不是發散數列，因為它根本不是數列，就好像公尺既不是英制重量單位，也不是公制重量單位，它根本不是重量單位，這是是很重要的，因為無窮數列的斂散定義與無窮級數不同：若某無窮數列其「無窮大項」趨近於一定值，則該數列收斂，不然則發散。若某無窮級數其「前n項總和」趨近於一定值，則該級數收斂，不然則發散。所以發散數列所構成的級數必發散，但相反的，收斂數列所構成的級數未必收斂，例如等比數列2,2,2,....,2,....收斂於2，但等比級數2+2+2.......發散數列1,1/2,1/3,1/4.....,1/n,....收斂於0，但級數1+1/2+1/3+1/4+.......發散回到正題，因為無窮數列1,1,-1,1,-1.......各項在1和-1間循環跳動，所以發散。(你可能會說收斂於1和-1，但是收斂值只能有一個)因為無窮級數1+1-1+1-1.......總和在2和1間循環跳動，所以發散。

2006-06-02 20:04:13 補充：
發散級數焉有和？

Answer 2

用"歐拉發散級數求'和'法", 可求得此發散級數的和為1/2

Answer 3

第三個答案雖然講了很多，但對於這個題目而言，第二個答案更切合題目。

Answer 4

"草莓麻薯"，在這邊只好跟你說聲對不起，因為這數可能是0也可能是1，只把你點掉啦

Answer 5

是1啦！^.^
1+ 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1 + 1-1 ...........
1-1永遠是0
1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...............＝1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+..............

Answer 6

無窮數列＜ａｎ＞
若ｎ→ oo，ａｎ→一個定值Ｌ，則無窮數列＜ａｎ＞收斂於Ｌ
若ｎ→ oo，ａｎ不能趨近一個定值Ｌ，則無窮數列＜ａｎ＞稱為『發散』

所以這並不詭異，是屬於『無窮數列發散』的定義。

2006-05-19 15:38:06 補充：
無窮級數＜ａｎ＞也是一樣若ｎ→ oo，級數和Ｓｎ→一個定值Ｓ，則無窮級數和收斂於Ｓ若ｎ→ oo，級數和Ｓｎ不能趨近一個定值，則無窮級數和稱為『發散』

Answer 7

因為此數列之值在1與2之間變動,而不是趨向某一定值,故為發散數列.