關於三角函數的問題和等比級數

Question

三角形ABC ㄥA ㄥB ㄥC的對邊分別為a b c 若a b c 成等比級數 且cosB=3/4則cotA+cotC=?

Answer 1

a,b,c呈等比級數，則由正弦定理知sinA,sinB,sinC亦呈等比級數，則sin2B=sinA*sinC又cosB=3/4，故sinB=√[1-(3/4)2](只取正值，因為一二象限角sin值皆正)=√(7/16)=(√7)/4cotA+cotC=(cosA/sinA)+(cosC/sinC)=(cosAsinC+sinAcosC)/(sinAsinC)(通分)=sin(A+C)/sin2B=sin(π-B)/sin2B=sinB/sin2B=1/sinB=4/√7

Answer 2

∵ a、b、c 成等比級數 ∴ b^2 = ac
根據餘弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a^2+c^2-b^2)/(2*b^2)=3/4
∴4(a^2+c^2-b^2) = 6(b^2)
∴2(a^2)+2(c^2)=5(b^2)=5ac
∴ ((2a-c)(a-2c)=0
∴ c=2a 或 a=2c
∴ b^2 = ac = 2c^2或b^2 = ac = 2a^2
若b^2 = ac = 2(a^2)，c=2a
則 a：b：c = 1：根號(2)：2
所以∠C為鈍角
∴sinB=根號(7)/4，sinA=根號(14)/8，sinC=根號(14)/4，
又cotA+cotC=(cosA/sinA)+(cosC/sinC)
= (sinAcosC+cosAsinC)/sinAsinC
= sin(A+C)/sinAsinC = sinB/sinAsinC
= 2

2006-05-16 09:41:14 補充：
又計算錯了，訂正如下sinB=根號(7)/4，sinA=根號(14)/8，sinC=根號(14)/4，∴cotA+cotC= sinB/sinAsinC=4/根號(7)

Answer 3

邊長a,b,c成等比級數,b2=ac利用餘弦定理:3/4=cosB=(a2+c2-b2)/2ac=>3/4=(a2+c2-ac)/2ac=>4a2+4c2-4ac=6ac=>4a2-10ac+4c2=0=>2a2-5ac+2c2=0=>(2a-c)(a-2c)=0=>a=c/2,or a=2c當a=2c,b=√2ccosA=(b2+c2-a2)/2bc=(2c2+c2-4c2)/2√2c2=-1/2√2cosC=(a2+b2-c2)/2ab=(4c2+2c2-c2)/4√2c2=5/4√2=>sinA=√7/2√2sinC=√7/4√2∴cotA+cotC=cosA/sinA+cosC/sinC=-1/√7+5/√7=4/√7當a=c/2,b=c/√2cosA=(b2+c2-a2)/2bc=5/4√2cosC=(a2+b2-c2)/2ab=-1/2√2=>sinA=√7/4√2,cosA=√7/2√2=>cotA+cotC=cosA/sinA+cosC/sinC=5/√7+-1/√7=4/√7