多項式(x^3+2x+1)^10除以(x^2+1)的餘式為?

Question

不知道有什麼方法可以算出來耶
不知道有什麼方法可以算出來耶
可以提供算法嗎?

Answer 1

根據除法原理存在一個商式g(x)及實數a,b，使得
(x^3+2x+1)^10 = (x^2+1)*g(x) + (ax+b)
令x = i ，代入兩邊得
(i^3+2i+1)^10 = (i^2+1)*g(i) + (ai+b)
(1+i)^10 = ai+b
32i = ai+b
∴ a=32，b=0
故餘式為 32x

Answer 2

(x3+2x+1)10≡(x+1)10≡(x2+2x+1)5≡(2x)5≡32x5≡32x(x2+1)2-64x3-32x≡-64x3-32x≡-64x(x2+1)+32x≡32x(mod x2+1)所以餘式是32x其實用popo的方法就可以了。不然，將x4=1代入32x5亦可得32x，但我想試試完全不用餘式定理。

Answer 3

直接除囉
利用長除法 可以(x^3+2x+1)除以(x^2+1)餘式是x+1
也就是(x^3+2x+1)^10除以(x^2+1)的餘式會等於 (x+1)^10除以(x^2+1)
＝(x^2+2x+1)^5除以(x^2+1)
在利用長除法 可以知道(x^2+2x+1)除以(x^2+1)的餘式是2x
也就是(x^3+2x+1)^10除以(x^2+1)的餘式又等於(2x)^5除以(x^2+1)的餘式
也就是32x^5除以(x^2+1) 餘式就是32x+1

2006-05-15 21:10:39 補充：
sorry 複製貼上多貼了一個+1答案是32x啦