證明蝴蝶形的圓周角=(1/2)圓心角(10點)

Question

如圖，∠ABC與∠COA是對同一圓弧的圓周角和圓心角，試證∠ABC=(1/2)∠COA是這樣的，國中告訴我們圓周角是圓心角的一半，也給了證明，可是事實上那個證明並不完整，因為它的「圓心在△ABC內」(∠ABC和∠COA構成一個凹四邊形)，而這只是情況之一，也有可能「圓心在△ABC上」(∠ABC和∠COA構成一個直角三角形)，還有可能「圓心在△ABC外，且∠ABC為鈍角」(∠ABC和∠COA構成一個凸四邊形)，這三種情況都可連接OB作輔助線，構成兩個等腰三角形，此時∠ABC=(1/2)∠COA是明顯易證的。但是若「圓心在△ABC外，且∠ABC為銳角」(∠ABC和∠COA構成一個蝴蝶形)呢？此時你的等腰三角形就很醜了，這就要考考各位了。

抱歉我錯了，「圓心在△ABC上」本身也分兩種情況：
1.「圓心在AB邊或BC邊上」(∠ABC和∠COA構成一個勺子形)
2.「圓心在AC邊上」」(∠ABC和∠COA構成一個直角三角形)

Answer 1

一樣作OB連線
設∠OBC=α 因為等腰∠OCB=α
設∠OBA=β 因為等腰∠OAB=β
∠ABC=∠OBC - ∠OBA=α-β
∠AOC=∠AOB - ∠BOC=(180° - 2β) - (180° - 2α) =2α - 2β=2∠ABC
證明完畢

Answer 2

1．連接OB
2．設∠COA為∠1，∠OAB為∠2，∠OBA為∠3，∠ABC為∠4，∠BCO為∠5
3．∵直線OB=直線OA ∴∠2=∠3…(1)
∵直線OB=直線OC ∴∠3+∠4=∠5…(2)
且知∠1+∠2=∠4+∠5(外角定理)…(3)
將(1)(2)代入(3)：∠1+∠3=∠4+∠3+∠4→∠1=2∠4→∠COA=2∠ABC
→∠ABC=(1/2)∠COA 得證

Answer 3

摯愛珍：
我知道這對你很容易，所以拜託慢點出手，我想知道這題對於大多數網友而言難不難，也給大家一點思考的空間，據我所做，光是連接OB作輔助線是不夠的，所以還有點挑戰性。

2006-05-10 20:34:56 補充：
1.圓心在△ABC內
2.圓心在△ABC上
...2-1圓心在AB邊或BC邊上
...2-2圓心在AC邊上
3.圓心在△ABC外
...3-1圓心在△ABC外，且圓周角為鈍角
...3-2圓心在△ABC外，且圓周角為銳角
這五種其實長得都不太一樣(雖然結論一樣)，我自己求學時的教科書只畫過1.2.兩種。

2006-05-10 20:35:59 補充：
這有兩個可以實際操作的網頁，
(1)http://www.csjh.tpc.edu.tw/~doing/math-teach/j5/j5-22021.htm
(2)http://www.tacocity.com.tw/ghsghs/diy001.htm
當你把圓心角弄到240度左右，而周角角是鈍角時，這兩個網頁都有bug
(1)號顯示圓周角120度，圓心角負120度，國中生能接受負的角度嗎？
(2)號更荒謬，圓周角=圓心角=120度，可見他們當初設計時並無把五種情況都考慮進去。

2006-05-10 20:58:11 補充：
於是這結果就有趣了，當我規定圓心角必須小於等於180度時，它所決定的圓周角角度並不唯一。
比方圓心角120度，圓周角可能是120度或60度。看來"圓周角=(1/2)圓心角"這件事要分情況，各別定義，才會是正確的。