數論：二進制、高斯函數與遞迴數列的總和的證明(15點)

Question

靈感來自我自己出的這題：http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306050715451高斯函數[a]代表不大於實數a的最大整數。遞迴數列：An=[(1/2)*An-1]，A0是任意正整數如果用二進制來表示，An=[(1/10)*An-1]易證明An-1恰好是An直接去掉個位數，所以該數列最後必出現1(算到這裡為止，反正後面都是0)，令A0的各位數總和為x，我發現該數列各項總和恰等於10*A0-x，例如101101→10110→1011→101→10→1而1+0+1+1+0+1=100101101+10110+1011+101+10+1=1010110，而1010110恰等於10*101101-100，這應該是正確的(用excel代入很多值驗算過了)，可是要怎麼證明呢？重新敘述問題用二進制來表示，遞迴數列An=[(1/10)*An-1]，A0是任意正整數則必存在Am=1；令A0的各位數總和為x，試證明A0+A1+A2+.....Am=10*A0-x(請盡量詳細、淺顯一點。若是換回十進制來作答也可以喔！)

Answer 1

是嗎？好像沒這麼簡單，願聞其詳。

Answer 2

其實就是:
1+2+4+...+2^n=(2^n)*2 -1