94學年度高中數學競賽決賽口試第一題

Question

設A表示前2k+1個連續正奇數的乘積，B表示前2k+1個連續正偶數的乘積。試證：A+B可被4k+3整除。

Answer 1

let P=4k+3
A=1*3*5*...*(4k+1)
B=2*4*6*...*(4k+2)
=(4k+2)*(4k)*...*4*2
=(P-1)*(P-3)*...*(P-(4k+1))
so B(mod P)== (-1)*(-3)*(-5)*...*(-4k-1) (mod P)
==-A (mod P)
so A+B (mod P)== 0

Answer 2

A=1*3*5*.....(4k+1)B=2*4*6*.....(4k+2)首先我們觀察一下規律：k=11*3*5≡1*3*(-2)≡-3!(mod 7)2*4*6≡2*(-3)*(-1)≡3!(mod 7)k=21*3*5*7*9≡1*3*5*(-4)*(-2)≡5!(mod 11)2*4*6*8*10≡2*4*(-5)*(-3)*(-1)≡-5!(mod 11)k=31*3*5*7*9*11*13≡1*3*5*7*(-6)*(-4)*(-2)≡-7!(mod 15)2*4*6*8*10*12*14≡2*4*6*(-7)*(-5)*(-3)*(-1)≡7!(mod 15)所以等於證明：(一)1*3*5*.....(4k+1)≡(-1)^k*(2k+1)!(mod 4k+3)(二)2*4*6*.....(4k+2)≡(-1)^(k+1)*(2k+1)!(mod 4k+3)1*3*5*.....(4k+1)≡1*3*5*....(2k+1)*[-(2k)]*[-(2k-2)]*[-(2k-4)]......*(-2)共(2k+1)個數，前(k+1)個是正數，則後k個是負數≡(-1)^k*(2k+1)!(mod 4k+3)2*4*6*.....(4k+2)≡2*4*6*....2k*[-(2k+1)]*[-(2k-1)]*[-(2k-3)]......*(-1)共(2k+1)個數，前k個是正數，則後(k+1)個是負數≡(-1)^(k+1)*(2k+1)!(mod 4k+3)故A+B≡(-1)^k*(2k+1)!+(-1)^(k+1)*(2k+1)!≡0(mod 4k+3)因此A+B是4k+3的倍數

Answer 3

剛剛有打,可是是的被我刪去了,已經不能用回答問題回答了,就在這裡回答!
你可以試著以下列的方式打開連續正奇數的乘積
(4k+1)(4k-1)(4k-3).....
=(4k+3).... -2.(4k-1)(4k-3)...
=(4k+3).... -2(4k+3)(4k-3)..
+2.4.(4k-3)...
最後可得到展後的最後一數為
-(2.4.6......(4k+2))
(因為有奇數個數)
所以加上(2.4.6......(4k+2)),就可得到帶有4k+3為因數的多項式