正餘絃的應用證明

Question

1.設r、R分別是ΔABC之內切圓與外接圓的半徑，試證2r≦R

2.ΔABC中，設s =(a+b+c)/2，r為內切圓之半徑，Ra為a邊的傍切圓之半徑，試證：
(1) tan(A/2) = r/(s-a)
(2) Ra=ΔABC/(s-a)
(3) tan(A/2) =Ra/s

sorry......順便解釋一下什麼叫傍切圓 ^^bb

Answer 1

1.因為 s =(a+b+c)/2 即 a+b+c = 2s
利用算幾不等式
c = (s-a) + (s-b) ≧2√(s-a)(s-b)
同理可得 b = (s-a) + (s-c) ≧2√(s-a)(s-c) ， a = (s-c) + (s-b) ≧2√(s-c)(s-b)
相乘可得 abc≧8(s-a)(s-b)(s-c)
可得 sabc≧8s(s-a)(s-b)(s-c)
再利用三角形面積公式△=rs ，△=(abc)/4R，△^2= s(s-a)(s-b)(s-c)
可得 △/r * (4R△) ≧8△^2
所以 R≧2r

2.
(1)設三角形ABC的內切圓，切BC邊於D，切AC邊於E，切AB邊於F，
設AF長=k，利用切線段等長，可得，BF長=c-k，AE長=k，BD長=c-k，
CE長=b-k ，CD長=b-k
CD長+BD長=(c-k)+(b-k)=a
2s-2a = b+c-a = 2k
(s-a) = k
所以tan(A/2) = r/(s-a)
(2)三角形的旁心 是一個內角兩個外角平分線的交點
設三角形ABC中角A的內角平分線上的旁心為P
則三角形ABC面積 = PAC面積+PAB面積-PBC面積
所以 △ = (1/2)b*Ra +(1/2)c*Ra-(1/2)a*Ra = (1/2)(b+c-a)*Ra =(s-a)*Ra
(3) 利用半角定理 sin(A/2)=根號[(s-b)(s-c)/bc] ，cos(A/2)=根號[s(s-a)/bc]
所以 tan(A/2)=根號[(s-b)(s-c)/s(s-a)]
=[根號s(s-a)(s-b)(s-c)]/s(s-a)
=△/s(s-a) = Ra/s

2006-05-01 15:33:39 補充：
(3)利用三角形面積公式△= rs =(s-a)*Ra 可得 r/(s-a) = Ra/s 所以tan(A/2) = Ra/s