微積分e的推廣

Question

推廣: ＿＿＿＿t
1. e= lim(1+1/t) t屬於R
＿＿ t→∞
PS:＿不要看

恩～是證明^^...利用夾擠定理....

我是高一生= =
只是先上先修...

恩...沒關係...不過我不一定看的懂...因為只學到初級的部份

Answer 1

你所謂的推廣是要證明它嗎?

2006-05-01 16:07:31 補充：
本題要利用到二項式定理,夾擊原理來證明首先我們知道:ex=Σk=0∞xk/k!,∴e=Σk=0∞(1/k!)令Sn=Σk=0n(1/k!),Tn=(1+1/n)n,利用二項式定理:Tn=Σk=0nC(n,k)(1/n)k=C(n,0)+C(n,1)(1/n)+C(n,2)(1/n)2+......+C(n,n)(1/n)n=1+n!/(n-1)!(1/n)+[n!/2!(n-2)!](1/n)2+[n!/3!(n-3)!](1/n)3+..+(1/n)n=1+1+1/2![n(n-1)/n2]+1/3![n(n-1)(n-2)/n3]+..+1/n![n!/nn]=1+1+1/2![1-(1/n)]+1/3![(1-1/n)(1-2/n)]+..+1/n![(1-1/n)(1-2/n)..(1-(n-1)/n]∵每個(1-1/n),(1-2/n),....,(1-(n-1)/n)都是界於0到1之間的數,∴1+1+1/2![1-1/n]+1/3![(1-1/n)(1-2/n)]+...+1/n![(1-1/n)(1-2/n)..(1-(n-1)/n]<1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!=Sn兩邊令n->∞,limn->∞(Tn)≦limn->∞(Sn)=e又取n>m,將Tn取到m項,我們得到:Tn>1+1+1/2![1-1/n]+1/3![(1-1/n)(1-2/n)]+.....+1/m![(1-1/n)(1-2/n)..(1-(m-1)/n)]固定m,令n->∞,limn->∞(Tn)≧1+1+1/2!+1/3!+....+1/m!=>limn->∞(Tn)≧Sm,再令m->∞,我們得到:limn->∞(Tn)≧e∴e≦limn->∞(Tn)≦e=>e≦limn->∞(1+1/n)n≦e=>e≦limt->∞(1+1/t)t≦e=>limt->∞(1+1/t)t=e

2006-05-01 17:26:40 補充：
沒辦法,這題就是要這樣證,我怎麼知道他會問這問題,嚴格來說,這題是高等微積分才會學到的,如果各位有比較簡單的證法,可以提供

Answer 2

我不是建中的學生....我讀中女～

Answer 3

我記得微積分課本有這個吧 0.0

2006-05-01 22:29:01 補充：
lim(x→∞) (1+ 1 / x ) ^x = e <---題目 ( 我把 t 換成 x 0.0 )
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(1)設 lim(x→∞) (1+ 1 / x ) ^x = y
ln y = ln [ lim(x→∞) (1+ 1 / x ) ^x ]

(2)因為自然對數函數有連續性 所以可以"換寫"成
=ln y = lim(x→∞) [ ln(1+ 1 / x ) ^x ] = lim(x→∞) [ x˙ln(1+ 1 / x ) ]
= lim(x→∞) [ ln(1+ 1 / x ) / (1 / x) ]

(3)設 m=1/x => x=1/m.......所以
ln y = lim(m→0+(正向趨近於0 +在0的右上角)) [ ln(1+ m) / m ]
= lim(m→0) [ ( ln(1+ m) - ln 1) / m ]
= ln x (d/dx) 在x=1 ( 微分公式 已列於下面 )
=1/x 在x=1
=1
( f'(x) = lim(x→c) [ f(x)- f(c) / x-c ] = lim(△x→0) [ f(c+△x)- f(c) / △x ] )

(4)lny = 1 y = lim(x→∞) (1+ 1 / x ) ^x = e
( ln 可以看成 log以e為底數的對數 )
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我首先說一下 這是節錄自微積分課本 LARSON HOSTETLER EDWARDS 第8版 第A13(附錄)頁

如果解答有什麼問題請提問 謝謝 ^_^

2006-05-01 22:30:44 補充：
說真的 我只是列出來其他算法 點數我是不想爭取的東西不是我想出來的 有點數也沒用 = =

Answer 4

夾擠定理要畫圖，小綿羊愛吃愛睡又很懶，所以不想畫！

Answer 5

夾擠定理我是不會但提他方法我會

2006-05-01 17:22:30 補充：
ex=Σk=0∞xk/k!
泰勒級數
高一會嗎