某三位數除以23的餘數恰等於其各位數總和(10點)

Question

某三位數除以23的餘數恰等於其各位數總和，請問這樣的三位數共有幾個？請附完整的推論過程。

Answer 1

R23(100a + 10b + c) = R23(8a + 10b + c) = a + b + c
7a + 9b = 23n
n=1, a=2, b=1
ans = 21x, 42x, 63x, 84x. (共 40 組）
ps: 其中最大者為 849 ，三位和為 21 小於 23，故 40 組都合。

講完。

Answer 2

假設此三位數為abc, 其值也就是100a+10b+c
0<=a,b,c<=9,
由題意得出 100a+10b+c 同餘 a+b+c (mod 23)
7a+9b 同餘 0 (mod 23)
a同餘 2b (mod 23)
因此所有可能為
(a,b,c)=(2,1,c), (4,2,c), (6,3,c), (8,4,c)
其中0<=c<=9,
所以共有40個這樣的三位數