弄個跟畢氏定理有關的東西讓大家玩玩

Question

已知a^2+b^2=c^2,c>b>a,(a.b)=(a,c)=(b,c)=1
現在令a=2k+1
試推論(a+c)/b=(k+1)/k
~~^^!!請大家一起來想
我找不出證明與反例
若有證明與反例我會很感激的>\"\"\"

那若a一個質數的話~

那若a一個質數的話~
是否(a+c)/b=(k+1)/k 成立

Answer 1

1192+1202=1692(119,120)=(120,169)=(119,169)=1119=2*59+1(119+169)/120=12/5不等於 60/59反例應該很多吧

2006-04-18 19:53:28 補充：
是但非必要(9,40,41)若a為質數a=m^2-n^2=(m+n)(m-n)m-n=1a=2k+1m+n=2k+1m=k+1n=ka=m^2-n2b=2mnc=m^2+n^2(a+c)/b=2(k+1)^2/2k(k+1)=(k+1)/k

Answer 2

這一題，當a^2+b^2=c^2,且(a,b,c)=c-b時，(a+c)/b=(k+1)/k就會成立(其中a=2k+1)
因此要找反例時，令a=st，s≧t，s≠1≠t，易知如果c=(s^2+t^2)/2，b=(s^2-t^2)/2就能令a^2+b^2=c^2成立。但是要使b>a的話，就要(s^2-t^2)/2＞st ＝＞s＞(1+√2)t。
故此，取t為3時，s可取11，13，17....。取t為5時，s可取13，17，19....。取t為7時，s可取17，19，23....。
這時候，回來找反例的a，b，c應該就不困難了~

Answer 3

332+562=652，65>56>33，(33,56)=(56,65)=(65,33)=1a=2*16+1(a+c)/b=98/56=7/4≠17/16a若是質數，a2=(c+b)(c-b)但a2只能分解成(a*a)和(a2*1)這兩種乘積(因為a是奇質數)若c+b=a且c-b=a，則c=a，b=0(不合)故必然c+b=a2且c-b=1c+b=2b+1=(2k+1)2=4k2+4k+1b=2k2+2k=2k(k+1)c=2k2+2k+1(a+c)/b=(2k+1+2k2+2k+1)/[2k(k+1)]=(2k2+4k+2)/[2k(k+1)]=2(k+1)2/[2k(k+1)]=(k+1)/k所以是對的。

Answer 4

1192+1202=1692

(119,120)=(120,169)=(119,169)=1

119=2*59+1

(119+169)/120=12/5

不等於 60/59

反例應該很多吧

2006-04-18 19:53 補充
是
但非必要(9,40,41)
若a為質數
a=m^2-n^2=(m+n)(m-n)
m-n=1
a=2k+1
m+n=2k+1
m=k+1
n=k
a=m^2-n2
b=2mn
c=m^2+n^2
(a+c)/b=2(k+1)^2/2k(k+