畢氏數，b和c不為3,4,5的倍數，b的個位數可能是3或7嗎

Question

前一陣子，在知識+考了人家一個問題，原本信心滿滿以為自己的答案是對的，可是，卻找不出若干實例，遂感到似乎自己算錯了，特來求教。若正整數a,b,c滿足a2+b2=c2，(a,b,c)=1，b不是3的倍數，也不是4的倍數，也不是5的倍數；c不是3的倍數，也不是4的倍數，也不是5的倍數。求b除以60的餘數可能是多少？我的答案是1,11,19,29,31,41,49,59以及7,13,17,23,37,43,47,53也就是b2≡1(mod 60)或b2≡49(mod 60)算法是這樣：既然畢氏三元數至少有一個是3的倍數，且至少有一個是4的倍數，且至少有一個是5的倍數，而b,c都不是3,4,5的倍數，則a同時是3,4,5的倍數，亦即a是60的倍數。那麼b2≡c2-a2≡c2(mod 60)，所以只算b就好了。(c2和b2同步)b不是3的倍數→b2≡1(mod 3)b不是4的倍數→b2≡1或0(mod 4)，排除0，因為會使(a,b,c)≠1(都是偶數)b不是5的倍數→b2≡1或4(mod 5)b2≡1(mod 3)且b2≡1(mod 4)且b2≡1(mod 5)，根據中國剩餘定理，b2≡1(mod 60)，b≡1,11,19,29,31,41,49,59(mod 60)b2≡1(mod 3)且b2≡1(mod 4)且b2≡4(mod 5)，根據中國剩餘定理，b2≡49(mod 60)b≡7,13,17,23,37,43,47,53(mod 60)但是b2≡1(mod 60)的實例很好找，(a,b,c)=(60,11,61)=(120,209,241)b2≡49(mod 60)的實例用Excel算了半天卻找不到，找到的也是(a,b,c)≠1會不會是我算錯啦？重新問好了若正整數a,b,c滿足a2+b2=c2，(a,b,c)=1，b不是3的倍數，也不是4的倍數，也不是5的倍數；c不是3的倍數，也不是4的倍數，也不是5的倍數，b的個位數是3或7，求符合條件的數對(a,b,c)，若不存在，請證明。

Answer 1

替我上面的那位大大做點說明
７８０　１４３　７９３
都是１３的倍數喔！！
因為（ａ,ｂ,ｃ）＝１
現在我們假設c>b>a
a^2=(c-b)(c+b)
因為(a,b,c)=1 則c-b=1(之前寫過)
我們令a=2k+1 b=2t c=2t+1
(2k+1)^2=4t+1
4k^2+4k+1=4t+1
k^2+k=t
k(k+1)=t
t必為偶數 b=2t ~b必為4的倍數
但我們為了不讓b為4的倍數
所以我們與讓b與a互換
b=2k+1 但b的尾數要3or7
k的個位數為1 3 6 8
而c=2t+1 當k的尾數=1,3,6,8
則c必為5的倍數 !
所以此題並無解!!

2006-04-18 02:05:47 補充：
我們令a=2k+1 b=2t c=2q+1(2k+1)^2=(2q-2t+1)(2q+2t+1)4k^2+4k+1=4q^2-4t^2+4q+1k^2+k=q^2+q-t^2-k(k+1)+q(q+1)=t^2已知k(k+1),q(q+1)皆為偶數則t=偶數則b必為4的倍數

2006-04-18 02:06:00 補充：
我們再將a與b對調b=2k+1 但b的尾數要3or7k的尾數為1,3,6,8而c=2q+1 c^2=a^2+b^2(2q+1)^2=4t^2+(2k+1)^24t^2的尾數為4or6 現將k尾數帶入14t^2+(2k+1)^2的尾數為3or5 且沒有任何一個數的平方尾數為3 而5又不是要求的解!將k尾數代入3,6,8也是同理 故無解!

2006-04-18 02:28:58 補充：
克勞棣 這些題目你怎麼想的啊~~= =我去學校的時間有東西可以打發了!!

2006-04-18 02:29:56 補充：
找時間我也來po點好玩的好了^^!!

Answer 2

to 克勞棣
那只是要使b成為一個完全平方數,先前是用舉例的,實際上可設為
c+a=m.n^2
c-a=m
=>
c=m.(n^2 +1)/2
a=m.(n^2 -1)/2
b=m.n
這種例子都有一個m或m/2的因數存在!
前面會用舉例的是因為沒看到他還有一個條件
(a,b,c)=1
存在!

2006-04-18 17:53:54 補充：
to 克勞棣
c+a=k^3
c-a=k
這只是把不同的可能都列舉出來而已,並沒有什麼意思,而這個列法就是你另一個發問的解.

Answer 3

Tell_me_your_sweet_lies：
(a,b,c)=1 則c-b=1
沒這條原理吧！？
看我舉例的(120,209,241)=1
但兩兩都不差1。
證明無效唷！

2006-04-18 01:34:54 補充：
--------：
c+a=k^3
c-a=k
不一定要這樣分吧！
c+a不一定要是c-a的倍數呀！
如果我要求的是個位數為1或9，以我舉例的(120,209,241)
c+a=361
c-a=121
並無倍數關係

2006-04-18 01:48:03 補充：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1206041201172
有興趣就來試試這題