關於國中數學的一個問題

Question

任意三角形ABC，重心為G
A點座標為(X1,Y1)，B點座標為(X2,Y2)，C點座標為(X3,Y3)
求證：G點座標為([(X1+X2+X3)/3],[(Y1+Y2+Y3)/3])

Answer 1

先取 BC 中點 D
則 D 的座標 = ( B + C ) / 2 = ( ( X2 + X3) /2, ( Y2 + Y3 ) / 2 )

由於 G 是重心, 所以 AG : GD = 2 : 1
因此 G 的 X 座標 = ( A的X座標 + 2 * D的X座標 ) / 3
　　 G 的 Y 座標 = ( A的Y座標 + 2 * D的Y座標 ) / 3

** 註: 這是內分點公式, 如果不知道, 底下有證明 **

G 的 X 座標 = [ X1 + 2 * ( X2 + X3) / 2 ] / 3 = ( X1 + X2 + X3 ) / 3
G 的 Y 座標 = [ Y1 + 2 * ( Y2 + Y3) / 2 ] / 3 = ( Y1 + Y2 + Y3 ) / 3

** 底下證明內分點公式 **
A( X1, Y1), B( X2, Y2 ), P 在 線段 AB 上, 且順序為 A - P - B
若 AP : PB = m : n
則 P 的 X 座標 = ( n * X1 + m * X2 ) / ( m + n )
　 P 的 Y 座標 = ( n * Y1 + m * Y2 ) / ( m + n )

只需要證明 X 座標, 因為證明 Y 座標的方式一模一樣
假設 P 的 X 座標 = Z
則 AP : PB = ( Z - X1 ) : ( X2 - Z ) = m : n
於是 m * ( X2 - Z ) = n * ( Z - X1 )
m * X2 - m * Z = n * Z - n * X1
移項將 Z 放在左邊得
m * Z + n * Z = m * X2 + n * X1
( m + n ) * Z = n * X1 + m * X2
Z = ( n * X1 + m * X2 ) / ( m + n )

Answer 2

請愛用向量

Answer 3

這裡出幾河題
實在是很難表達
交給高手來寫吧
我讓賢了