方程式的妙用

Question

有甲、乙兩個人，雙方言明，甲每月所賺的薪水，要分給乙 10%；乙所分得的錢，要再分給甲 90%；甲所分得的錢，要再分配給乙 10%，如此連續分配，直到一方再分配給另一方的錢小於一元為止。同樣的，乙所賺得的錢，也是給甲 90%，甲再給乙 10%，如此連續分配。今假設甲、乙在某月的薪水，分別為 $109,000 與 $80,000，若此，在分配後，甲、乙各得現金若干？請附詳解並說明整個過程，麻煩各位高手了！

甲：
109,000 - 109,000．10% + 109,000．10%．90% - 109,000．10%²．90% + 109,000．10%²．90%² - 109,000．10%³．90%² + ......___(1)
80,000．90% - 80,000．90%．10% + 80,000．90%²．10% - 80,000．90%²．10%² + ......___(2)

(1) = (109,000 + 109,000．10%．90% + 109,000．10%²．90%² + ...) - (109,000．10% + 109,000．10%²．90% + 109,000．10%³．90%² + ...)
= 109,000/(1 - 10%．90%) - 109,000．10%/(1 - 10%．90%)
= 119,780 - 11,978 = 107,802

(2) = (80,000．90% + 80,000．90%²．10% + ...) - (80,000．90%．10% + 80,000．90%²．10%² + ...)
= 80,000．90%/(1 - 90%．10%) - 80,000．90%．10%/(1 - 90%．10%)
= 79,121 - 7,912 = 71,209

(1) + (2) = 179,011

乙：
109,000 + 80,000 - 179,011 = 9,989

以上是我運用無窮等比級數的觀念計算而得，希望各位高手能幫忙想出以方程式求解的式子！

請問 anada 網友：
可以請您講解一下式子嗎？我看不太懂耶！
式子的由來也不是很清楚，不曉得為何要這樣列示，謝謝您！

令 X 為整個過程中甲所碰過的錢，Y 為整個過程中乙所碰過的錢
由於甲所碰過的錢會有 10% 分個乙，留下自己所碰過的錢的 90%（甲最後分到的錢）
同理乙所碰過的錢會有 90% 分給甲，留下自己所碰過的錢的 10%（乙最後分到的錢）
因此，將上述的關係列成方程式如下：
╭ X = $109,000 + 90%．Y
╰ Y = $80,000 + 10%．X
解得 X = $198,901，Y = $99,890

甲最後分到的錢 = $198,901 × 90% = $179,011
乙最後分到的錢 = $99,890 × 10% = $9,989

Answer 1

呂可以當會計知識名人喔.

Answer 2

看到樓主在我回答另一題之處求救，我來試看看！

ans：

109000 x ( 0.1 x 0.9 ) ^ 4 x 0.1 < 1
80000 x ( 0.9 x 0.1 ) ^ 5 < 1

a = 109000 x [ 0.9 + 0.1 x 0.9 x 0.9 + ... + ( 0.1 x 0.9 ) ^ 4 x 0.9 ]
b = 80000 x [ 0.1 + 0.9 x 0.1 x 0.1 + ... + ( 0.9 x 0.1 ) ^ 5 ]

A = a + ( 80000 - b ) = 179009.93
B = b + ( 109000 - a ) = 9990.07

講完。

Answer 3

恩恩恩，我懂您的意思！
謝謝您辛苦幫我算出來！
其實這題，小數點的取位不是很重要，精確也好，準確也好，近似值更沒關係！
因為單位是「元」，最後結果還是一樣四捨五入至「個位數」
我希望得到的詳解，是「如何能以簡便且有效的方式來解出這題」
直接一步一步來分配，確實是每個人第一個念頭
當然我也不例外，不過除此之外，還可以再找出其他解法！
所以大家想想看吧，一起討論^^

2006-04-28 13:13:52 補充：
不敢不敢！小弟不才，只怕誤人子弟！承蒙您錯愛了！