[數學]我想問一下有關統計方面的問題

Question

請問一下喔
在統計上 有很多的統計量
那 有一個統計量叫做\"完備統計量\"
我想問的是 :
為什麼會有這個完備統計量?
而且 這個完備統計量存在的意義是啥?
^^\" 抱歉 麻煩個為大大了

Answer 1

完備統計量 Complete statistic
講到統計量的「完備性」, 可能會讓許多人迷惑: 統計量的「完備」指的是甚麼﹖上述數學定義具有甚麼意義? 舉個例子可以很容易看出此名詞的問題:
設 T 為常態群體樣本平均數, S 為任一期望值為 0的統計量 (如 X1-X2, 並假設 n>1)。

若群體為 N(u,1), u 為未知參數 (群體均數)。則T 是 u 的完備充分統計量。但 (T,S) 不完備!

多奇怪的結果﹖而這卻不是很稀奇的特例! 相反地, 令 T 是任意模型之下的完備充分統計量, S 是期望值恒為零的而本身非零的統計量 (如 S=v(X1)-v(X2), v 是任意 Borel function)。則 (T,S) 不完備!

因此, 由「完備統計量」的觀點去看「完備性」, 可說是一條歧路, 不容易理解。

「完備性」最好可能是從「模型」或「參數空間」去理解。一模型或其參數空間稱為「完備」, 即沒有一個非零統計量其期望值恒等於零。舉個例子: 考慮 Poisson(m), m\in{M1,....,Mn}=H則無論 n 是多少, 必然可找到一個統計量, 其期望值
在所有 m=Mj 時都為零。因此這個模型, 或其參數空間H 是不完備的。而若 H 改為一個非退化區間 (a,b), a
再看一個例子: 若 X～bin(n,p), p\in H={P1,...,Pm}, 則當 mn 時, 由多項式的性質, 可証得它是完備的。

從這樣去了解, 我們可將「完備統計量」解釋為: 其機率模型具完備性的統計量。