a已知，a^2+b^2=c^2何時恰有2組正整數解？15點

Question

不定方程a2+b2=c2，若a已知，我們可以求出(a,b,c)的若干正整數解；例如32+b2=c2，(a,b,c)=(3,4,5)例如92+b2=c2，(a,b,c)=(9,40,41)=(9,12,15)例如362+b2=c2，(a,b,c)=(36,323,325)=(36,160,164)=(36,105,111)=(36,77,85)請問，a符合什麼條件時，不定方程a2+b2=c2「恰有2組」正整數解？(請附推論過程)

Answer 1

a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
c+b , c-b 須同為正奇數,或同為正偶數,且 c+b>c-b
所以,只要a^2恰有四個非平方數的奇數因數,
或四個非平方數的的偶數因數,即為所求.
(1)若a為奇數時,
只要a含有兩個以上質因數,則a^2恰有八個非平方數的奇數因數,(太多了)
因此a只含有一個質因數,故 a^2=p^4, 即a=p^2,如 9,25,49,,,等.
(2)若a為偶數時,a^2=4k^2,
當k含奇數因數時,同上所述,只能一個奇質因數,
所以, a^2=4p^4, 即a=2p^2,如 18,50,98,,,等.
當k不含奇數因數時,a^2=2^6,此時就只有a=8.

Answer 2

ET的證明有瑕疵....因為a不衣錠要是P^2-Q^2
如果b交換也是有可能的...可是你沒有考慮到
至於大雄目前看來好像是對的....
我再回去推推看吧^^

Answer 3

克勞隸= =若a與b能對調的話..這樣怎麼推啊....奇質數可以用因數來推= =但偶數..

2006-04-18 02:43:20 補充：
想到偶數的解法了!!a^2=(c-b)(c+b)
設a為一偶數
則c-b不能等於奇數 因為會出現分數
跟奇質數^2很像
除了本身以外 要含有兩組偶因數相乘=a^2
a=4*質數(暫推)

2006-04-18 02:46:21 補充：
偶數解的4*質數中 5除外

2006-04-18 18:59:28 補充：
..我又錯了~今天去學校找出好多反例~~偶數中好像只有8成立而已..(找了數十個偶數去試)

2006-04-19 00:17:06 補充：
18不行 18的話 就不是整數解了

2006-04-19 00:19:06 補充：
原本我寫的4*質數!!除了8以外 都是恰好3個解 !!令我頗無言

2006-04-21 23:19:54 補充：
哈哈~拍謝= =我發現我當時為什麼會想錯了!!我一直把c-b當作2 4 8 16在跑 忘了還有6 10 14 18這種數可以用@@!!這樣子的話 2*質數^2都是成立的...=.=

Answer 4

to ET
9 不等於質數

2006-04-12 18:49:15 補充：
to 克勞棣
後來才注意到15 也是5 的倍數，所以應該不止兩解。

另外我不是只限制"c-b=3"
因為可以試試"c-b=5"，"c-b=7"...等等

這只是很直覺的想法

2006-04-12 18:50:23 補充：
規律好像跟奇質數有關，感覺啦

2006-04-16 15:24:54 補充：
我無法回答最正確的答案，因為這是數學，所以刪除回答，放到意見。

回答時間： 2006-04-12 12:08:27
若a^2+b^2=c^2
則c^2-b^2=a^2=(c+b)(c-b)
假設 c-b=1，則 a=奇數。
奇數有1,3,5,7,......
a 符合奇數條件時，奇數平方還是奇數。
b=(a^2-1)/2，c=(a^2+1)/2。b，c皆為整數

2006-04-16 15:25:10 補充：
2006-04-12 17:24 補充
看到意見欄才知道，沒關係
若a^2+b^2=c^2
則c^2-b^2=a^2=(c+b)(c-b)
假設 c-b=3，則 a=奇數且可被3整除(還要大於3)。
a=9 b=40 c=41 b=12 c=15
a=15 b=112 c=113 b=36 c=39

公式為
a=奇數且可被3整除(還要大於3)，9,15,21...
b=((a^2/3)-3)/2
c=b+3
2006-04-13 9:45 補充
a=奇質數^2 就「恰有2組」 <- 實驗結果

2006-04-16 15:26:54 補充：
to 克勞棣
不只a=奇質數^2這種形式

可否舉例?

Answer 5

ET：
依你所言，3^2+b^2=c^2該有兩組正整數解囉！
那麼是哪兩組呢？
2^2+b^2=c^2也是兩組正整數解，哪兩組？
5^2+b^2=c^2也是兩組正整數解，哪兩組？

2006-04-12 13:14:28 補充：
奇怪，這題目有這麼難懂嗎？
3^2+b^2=c^2，只有一組正整數解(a,b,c)=(3,4,5)

9^2+b^2=c^2，有兩組正整數解(a,b,c)=(9,40,41)=(9,12,15)

36^2+b^2=c^2，有兩組以上正整數解(a,b,c)=(36,323,325)=(36,160,164)=(36,105,111)=(36,77,85)....
a不同，正整數解的數目也不同，請問，a符合什麼條件時，「恰有2組」正整數解？

2006-04-12 18:28:28 補充：
心意：
你不能限制c-b=3，你不能限制c永遠比b大3，你這樣就把一些解給自動排除掉了，排除掉後才"剩2組"可不能叫"恰有2組"解。
顯然15不只兩組解：
15^2+b^2=c^2
(15,112,113)、(15,36,39)、(15,20,25)、(15,8,17)共4組
這問題比你想得難一些。

2006-04-15 22:02:45 補充：
不只a=奇質數^2這種形式

2006-04-16 23:30:31 補充：
a=8
恰有(8,15,17)和(8,6,10)兩組

2006-04-18 21:28:36 補充：
偶數不只8成立，試過18嗎？

2006-04-19 00:44:24 補充：
開什麼玩笑？
(18,80,82)和(18,24,30)不是兩解嗎？

2006-04-19 00:57:25 補充：
況且4*質數也不是3個解，而是4個解
以4*3=12為例，有：
(12,35,37)(12,16,20)(12,9,15)(12,5,13)
你這樣熱情有餘，細心不足，是解不出來的。

2006-04-22 01:29:59 補充：
如果a是奇數呢？

Answer 6

請問"正整數"不是又叫自然數嗎?1,2,3,...這些都是呀?為什麼會"恰有2組",看起來有很多組呀?看不懂吔?