為什麼用畢氏定理求出的三角形中有一條邊長必為五的倍數?

Question

為什麼用畢氏定理求出的三角形中有一條邊長必為五的倍數???
如3.4.\"5\"
\"5\".12.13
請附加證明

好像是30度60度和90度的那種

謝謝 Tchaikovsky的意見

Answer 1

這要用同餘式寫才好看。若正整數n≡1或4(mod 5)，則n2≡1(mod 5)若正整數n≡2或3(mod 5)，則n2≡4(mod 5)若正整數n是5的倍數←→n2≡0(mod 5)換言之，任意正整數平方除以5都不會餘2，也不會餘3若a,b,c皆不為5的倍數，則a,b皆不為5的倍數，(1)若a2和b2除以5餘1和4，則a2+b2≡1+4≡5≡0≡c2(mod 5)，矛盾(因為c不為5的倍數)(2)若a2和b2除以5餘1和1，則a2+b2≡1+1≡2≡c2(mod 5)，矛盾(因為c2不會餘2)(3)若a2和b2除以5餘4和4，則a2+b2≡4+4≡8≡3≡c2≡0(mod 5)，矛盾(因為c2不會餘3)故知a,b,c至少有一個是5的倍數。

2006-04-12 00:04:26 補充：
不管a,b,c互質與否，a,b,c至少有一個是5的倍數都成立。

2006-04-12 00:47:10 補充：
直角三角形三邊邊長a,b,c皆為正整數，且a平方+b平方=c平方以此為前提

Answer 2

我正在學耶~這問題或許能拿來問老師唷^^

Answer 3

這題克勞隷問過
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1305090700774

2006-04-13 11:14:12 補充：
任意整數平方後 被5除
只有三種可能
1.餘1, 2.餘4(欠1), 3.整除...(why?)
就很明白了!

2006-04-13 12:16:30 補充：
依此類推
用畢氏定理求出的三角形中有一條邊長必為2
3
5 的倍數

Answer 4

令 a²=b²+c²
且a,b,c屬於N

1.
n屬於Z,n≡0,±1,±2(mod5)
→n²≡0,1,4(mod5) or n²≡0,1,-1(mod5) 註: 4≡-1(mod5)
→任何整數平方除以5三必餘0,1,4

2.
因為a²=b²+c²
所以a²≡b²+c²(mod5)

(1)當a²≡0(mod5)時:
b²≡0(mod5)且c²≡0(mod5)→不合, a,b,c須互質
或b²≡1(mod5)且c²≡-1(mod5)→合 註:與b²≡-1(mod5)且c²≡1(mod5)相似

(2)當a²≡1(mod5)時:
b²≡1(mod5)且c²≡0(mod5)→合 註:與b²≡0(mod5)且c²≡1(mod5)相似

(3)當a²≡4≡-1(mod5)時:
b²≡0(mod5)且c²≡-1(mod5)→合 註:與b²≡-1(mod5)且c²≡0(mod5)相似

綜合以上結果:a,b,c中必有一數為5的倍數

2006-04-25 20:56:43 補充：
事後發覺證明寫得有些隨便
(實在非常抱歉><)

Answer 5

《╭★ｗｈｉｔｅ☆〃 》所說

邊常為1.1.2，是做不出三角形的，三角形的邊長必須

任兩邊必大於第三邊才能成立，1+1＝2，所以1.1.2三角形不能成立。

Answer 6

好像是30度60度和90度的那種?這就是1:根號3:2了...沒辦法出現全整數喔

Answer 7

你講的應該是正整數邊長吧：
1.

因 為

(5m)2=25m2，(5n+1)2=5(5n2+2n)+1，(5p+2)2=5(5p2+4p)+4，
(5q+3)2=5(5q2+6q+1)+4，(5r+4)2=5(5r2+8r+3)+1

2.



若 x ，y ， z 皆 不 是 5 的 倍 數，則 x2+y2 被 5 除 餘 0，2 或 3，而 z2 被 5 除 餘 1

或 4， 所 以 矛 盾．


3.



若 x ， y 和 z 其 中 兩 個 是 ５ 的 倍 數，則 x2+y2， z2－y2，或 z2-x2， 被 ５ 除 餘 0，

所 以 第 三 個 數 亦 是 5 的 倍 數，因 而 與 x，y，z 的 最 大 公 因 數 等 於 1 矛 盾．


4. 所 以 x ， y 和 z 之 中 剛 好 只 有 一 個 是 5 的 倍 數．

2006-04-11 23:06:48 補充：
x ， y 和 z 是邊長

2006-04-11 23:12:44 補充：
抱歉，平方都沒打出來......如：(5m)2=25m2 改成→ (5m)^2 = 25m^2其他地方2寫在後面的都是平方 = =

Answer 8

他的意思應該是"整數邊"

Answer 9

不一定
畢氏定理是說 a的2次方+b的二次方= c的二次方
例 根號2.1.1就沒有5的倍數阿
那是碰巧