一題關於正整數平方和的不定方程(10點)

Question

若a,b,c,d,e,f,g,h,i皆為正整數，(a,b)=1，且滿足a2+b2=c2c2+d2=e2e2+f2=g2g2+h2=i2求a,b,c,d,e,f,g,h,i的解(至少寫出一組)(其實有無限多組)

Answer 1

用因式分解的解法
a^2=(c+b)(c-b) 且已知(a,b)=1<==則代表著(b,c)=(c,d)=(d,e)=(e,f)=(f,g)=(g,h)=(h,i)=1
最簡單的數字就是3*3+4*4=5*5了
所以令a=3 b=4 c=5
c^2=(e-d)(e+d)
25=(13-12)(13+12)
d=12 e=13
同理
169=(85+84)(85-84)
f=84 g=85
7225=(3613+3612)(3613-3612)
h=3612 i=3613
求得一組解
a=3 b=4 c=5 d=12 e=13 f=84 g=85 h=3612 i=3613
ps:
只要知道最大公因數=1
a就可以隨便假設成一奇數~
那麼就有解出來了