(a,b,c)=1的畢式數是否至少有一個是質數？(15點)

Question

若a,b,c都是正整數，且a2+b2=c2若限定(a,b,c)=1，數值較小的數對(a,b,c)有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(12,35,37)等等，三數當中都至少有一個是質數。試問：若a,b,c都是正整數，且a2+b2=c2，(a,b,c)=1，a,b,c是否至少有一個是質數？是，請證明。不是，請至少舉三個反例，並列出a,b,c三者的因數分解

很好，不過這樣不是太沒成就感了嗎？
有沒有c不是5的倍數的？

畢竟5這個質因數太小了。

Answer 1

33^2+544^2=545^2
63^2+1884^2=1885^2
93^2+4324^2=4325^2
.....
有看出來嗎？a^2=b+c，(a,b,c)=1 也符合，因為c-b=1。

a等於3的倍數，b等於2的倍數，c等於5的倍數。因數分解就讓我省略吧。

其中一個公式
如果 n>1
(3n*10+3)^2+((((3n*10+3)^2)-1)/2)^2=((((3n*10+3)^2)+1)/2)^2

希望你看的懂公式

(我該睡了...)

2006-04-11 14:13:52 補充：
21^2=441=220+221(17x13)81^2=6561=3280+3281(17x193)a都有3的倍數，b有2,5的倍數，c等於17的倍數。

Answer 2

Fred似乎是答非所問了，這只能說明a,b,c至少有一個是5的倍數吧！？
這跟存在皆為合數的a,b,c有何相關呢？

2006-04-11 21:51:18 補充：
rex：
這當然不是猜想，而是確定不成立了。
「(a,b,c)=1的畢式數至少有一個是質數」這句話是不成立的。

2006-04-11 21:51:26 補充：
我們令a=2n+1，b=2n(n+1)，c=2n(n+1)+1
則因c=b+1，所以必(a,b,c)=1
顯然b必為4的倍數，為合數；
而當n≡1(mod 5)時
c≡2n(n+1)+1≡2*1*2+1≡5≡0(mod 5)，c為5的倍數，當n≧6時，c為合數
同理，當n≡3(mod 5)時
c≡2n(n+1)+1≡2*3*4+1≡25≡0(mod 5)，c為5的倍數，c為合數
所以我們只要找出個位數是3,7且為合數的a即可。
a=27,33,57,63....
不過還有其他可能就是了

2006-04-12 01:34:51 補充：
不小心發現一組蠻小的
36^2+77^2=85^2

Answer 3

我來回答一下a^2+b^2=c^2，(a,b,c)=1, a,b,c當中一定會有5的倍數
我們已知道a,b,c分別可以表示成
m^2-n^2 , 2mn , m^2+n^2
把1與3項乘起來得出m^4 - n^4
若m,n當中有1項是5的倍數, 則2mn是5的倍數
不然由費馬小定理 m^4同餘1(mod 5) , n^4同餘1(mod 5)
得出 (m^4-n^4) 同餘0(mod 5)
也就是 (m^2-n^2)*(m^2+n^2)= m^4 - n^4會是5的倍數
(m^2-n^2)與(m^2+n^2)有一個會是5的倍數
解釋完畢

2006-04-13 15:34:14 補充：
抱歉..之前的確看錯問題現在舉個a,b,c都是合數, c不是5的倍數的例子(a,b,c)=(161,240,289)a=7*23, b=3*5*16, c=17*17

2006-04-13 15:46:28 補充：
再舉一個(a,b,c)=(152,345,377)a=8*19, b=3*5*23, c=13*29