微積分 導數的應用 10點~

Question

設(x,y)滿足 (x+y)^1/2*(x-2y)^2=27 , 則在點(7,2)的切線方程式為?

(x+y)^1/2*(x-2y)^2=27 翻譯: 根號[X加Y] 乘上 [X減兩倍Y]的平方 等於 27 。

麻煩詳細解答

趴在地上的蟑螂 不好意思 把你的解答刪除 會害你扣兩點...見諒^^

TOM> ［Ｄ√ (ｘ+ｙ)］．(ｘ−2ｙ)² ＋［√ (ｘ+ｙ)］．Ｄ(ｘ−2ｙ)² ＝ Ｄ( 27 ) 請問為何要分開來D??
{√ (ｘ+ｙ)］．(ｘ−2ｙ)² 他又不是 2[√ (ｘ+ｙ)］．(ｘ−2ｙ)² ?? 可以解釋一下為什麼嗎??

Answer 1

因為點在線上所以一階微分就是斜率

而y'就是斜率.故y'=m 過(7.2)

f(x)=(x+y)^1/2*(x-2y)^2=27

f'(x)=>1/2 * (x+y)^-1/2 *(1+y')*(x-2y)^2+ (x+y)^1/2*2*(x-2y)*(1-2y')=0

f'(7)=>1/2 * (7+2)^-1/2 *(1+m)*(7-2*2)^2+ (7+2)^1/2*2*(7-2*2)*(1-2m)=0
=>1/2 * 1/3 *(1+m)*9+ 3*2*3*(1-2m)=0
=>(9/6+9/6m)+(18-36m)=0
=>3/2+3/2m+18-36m=0
(同乘以2)=>3+3m+36-72m=0
=>39=69m
=>m=39/69

得斜率等於39/69,點(7.2)帶入,故得切線方程式39x-69y-135=0

Answer 2

這題可用隱函數微分法求之
[(x+y)^-1/2*(1+y')*(x-2y)^2+2(x-2y)(1-2y')*(x+y)^1/2=0
然後將(7,2)代入 即可求得y'=13/23 (在(7,2)的斜率)
所以切線方程式為 y-2 = 13/23*(x-7)

Answer 3

蟑螂兄
你就把你的算式補充一下吧
看來TOM是想把最佳解讓你,所以他才在意見欄裡面寫解答
你把答案補充一下好讓作者可以給你最佳解吧

Answer 4

看起來tom大大的應該對,樓上蟑螂大大的微分好像是少了一點東東

Answer 5

［√ (ｘ+ｙ)］．(ｘ−2ｙ)² ＝ 27
利用隱函數微分法：
［Ｄ√ (ｘ+ｙ)］．(ｘ−2ｙ)² ＋［√ (ｘ+ｙ)］．Ｄ(ｘ−2ｙ)² ＝ Ｄ( 27 )
［ (1+ｙ' )／2√ (ｘ+ｙ)］．(ｘ−2ｙ)² ＋［√ (ｘ+ｙ)］．［2(ｘ−2ｙ)(1−2ｙ' )］＝ 0
ｘ＝ 7，ｙ＝ 2 代入上式
⇒ｙ' ( 7，2) ＝ 13 / 23……點 ( 7，2)的切線斜率
所以切線方程式為： 13ｘ－ 23ｙ－ 45 ＝ 0

2006-04-11 23:00:20 補充：
1. 微分公式：(ｆｇ) ' ＝ｆ'ｇ＋ｆｇ'
2. 鏈鎖律：Dｆ(ｇ) ＝ ｆ'(ｇ)．ｇ'
利用這兩個公式與隱函數微分法，就這樣。

Answer 6

f(x)=(x+y)^1/2*(x-2y)^2
所以
f'(x)=1/2 * (x+y)^-1/2 * (x+2y)^2 + (x+y)^1/2 * 2(x-2y) ← f(x)的一次微分(基本的)
再把(7，2)帶入就可以求出 f(7) 的切線斜率了
答案就是 f'(7)=7/2
由斜率就可以知道f(7)的方程式等於7/2x-y+c=0
再把(7，2)在帶入一次
答案 f(x)=7/2x-y-45/2 (簡化)

7x-2y-45=0 就是他的切線方程式了

不知道是不是這樣~如果錯的話可能就是我的計算或觀念有問題了><
不過沒問題的話應該是對的才是^^！