3a+7b+11c+13d=1，整數解的參數式(10點)

Question

不定方程3a+7b+11c+13d=1，請給出一組整數解的參數式。(參數式應該有很多組，請寫出一組即可，但是要有計算過程)我先提供一組：a=3-tb=4+5tc=5+3td=-7-5tt為整數，經由參數式產生的a,b,c,d將皆為整數，代入3a+7b+11c+13d=1將皆成立不知道這問題算是簡單還是困難.....

Answer 1

因為(a,b,c,d)=1，不定方程有整數解
3a+7b+11c+13d=1
3a=1-7b-11c-13d=-6b-12c-12d+(1-b+c-d)
a=-2b-4c-4d+(1-b+c-d)/3
令1-b+c-d=3x，x是整數，而有b=1+c-d-3x
再令c=y，d=z，y,z是整數，b=1-3x+y-z
代回可得 a=7x-6y-2z-2
所以通解為 a=7x-6y-2z-2，b=1-3x+y-z，c=y，d=z，其中x,y,z是整數

Answer 2

但是巨觀而言
參數式求一個變數表示並沒什麼用
如果只是要求幾個解而已
你自己也會吧!
我對vbboyy 的意見比較贊同

Answer 3

隨便抽出兩個
假設抽出3a+7b
我們令它=0
a=-7t,b=3t
11c+13d=1
代表說
在t之外 c的常數項*11+d的常數項=1
c=-13t-7
d=11t+6
a=-7t
b=3t
只要先假設兩項相加=0
剩下兩項的t係數相加=0
常數項再做加減運算就好了

Answer 4

chuchu 的答案才是最終的答案
其實, 令 x=y=z=t
可以得到 a=-2-t, b=1-3t, c=t, d=t

令 x=y=t, z=t+1
可得 a=-4-t, b=-3t, c=t, d=t+1

這樣的題目, 由於有 4 個未知數, 所以所有的解就有 3 個自由變數

只由一個變數t, 無法決定出所有的解
就像我舉的例子一樣, x,y,z可以任意的給值

Answer 5

這個參數式，能否寫成a,b,c,d是t的函數？
也就是像我舉的例，a,b,c,d只由「一個」變數t所決定。

2006-04-22 01:34:55 補充：
我沒說這個參數式必須決定所有的解呀！
我要求一個變數並沒有什麼不對。