什麼是充分條件、必要條件及充要條件？(20點)

Question

什麼是充分條件、必要條件及充要條件？
我到現在還不是很清楚...想問一下
要舉個例子喔！這樣我比較能了解！
感謝喔！20點！

太感謝你們了...你們每個人都回答得很棒！~~

Answer 1

先講定義:
"若 P 則 Q 成立" 表示 P 是 充分條件, Q 是必要條件
"若 P 則 Q 成立" 且 "若 Q 則 P 成立" 表示 P 是 充要條件, Q 也是充要條件

簡單的講, 從左邊到右邊, 則左邊是充分條件, 右邊是必要條件

舉例:
A. 若 X > 1 則 X > 0: 這裡 " X > 1" 是充分條件, " X > 0 " 是必要條件
B. 若 N 是 6 的倍數, 則 N 是 3 的倍數: 這裡 " N 是 6 的倍數 " 是充分條件, " N 是 3 的倍數" 是必要條件
C. P = " X 是整數 ", Q = " X平方 是整數", 則 P 是充分條件, Q 是必要條件
　因為 " 若 P 則 Q " 是對的, 但是 " 若 Q 則 P " 是錯的
　所以左邊是充分條件, 右邊是必要條件
D. P = " X + Y 是有理數 ", Q = " X 是有理數, 且 Y 是有理數 "
　則 P 是 必要條件, Q 是充分條件
　因為 " 若 P 則 Q " 是錯的, 但是 " 若 Q 則 P " 是對的
　所以從 " 若 Q 則 P " 是對的 可以知道 Q 是充分條件, P 是必要條件
E. P = " N 是偶數 ", Q = " N平方 是偶數"
　則 P 是充要條件, Q 是充要條件
　因為 " 若 P 則 Q " 是對的, 且 " 若 Q 則 P " 是對的

如果還有不懂的, 就再問, 加油!

Answer 2

跟N的範圍有關吧..
如果講明N就是自然數, 我想應該是原解...

那假設照阿詩的說法... 根號2根本不能討論它是奇是偶..
所以說"不是偶數"也說得通

Answer 3

在E的例子中,答案是不是怪怪的???

P = " N 是偶數 ", Q = " N平方 是偶數"
則 P 是充要條件, Q 是充要條件
因為 " 若 P 則 Q " 是對的, 且 " 若 Q 則 P " 是對的

但是有可能N平方是偶數時,N不是偶數!!
例如根號2的平方是2,此時N就不是偶數啦!!!

所以我個人覺得~~P是充分條件,Q是必要條件

有請高手幫我解答一下~~~
因為我自己也一頭霧水中!!
謝謝

Answer 4

先舉兩個例子：

事件一：在教室裏聽著數學老師千篇一律的催眠曲，妹妹竟然保持異常地清醒，原來她的心中正想著今晚 Pub 所舉辦的「仕女之夜」…

事件二：看了盧貝松 (Luc Besson) 的終極殺陣 (Taxi) 之後，幾乎讓哥哥渴望成為追風族的夢想沸騰起來，也迫使老爸不得不對兒子使出緩兵之計──「等拿到了駕照再說吧。」…

大概所有的男性同胞都曾經或者即將被自己的老爸這樣子「唬弄」過去。用數學來看爸爸的緩兵之計，等於是說──

「花錢買車」的必要條件是「年滿18歲」。

我們再回頭看第一個例子。眾所週知，pub 的仕女之夜是全天下酷哥「恨自己不為女兒身」的日子。因為，一個「美眉」只要憑其性別即可免費入場。用數學（或邏輯）的說法也就是──

「免費入場」的充份條件是「身為女性」。

如果「充份條件」或「必要條件」這些字眼被正確的使用，你必定可以找到一個主題或目標（譬如，花錢買車，或者免費入場），然後，充份條件 (sufficient condition) 所關心的是：

該做什麼事，才足以 (suffice) 達成目標？

必要條件 (necessary condition) 關心的則是：

一旦達到目標了，必然 (nceessarily) 會有那些現象？

你也許會問，目標既然都達到了，還有什麼好計較的呢？不過，同樣一件事反過來想，你會發現，必要條件所關心的也就是：什麼事情非做不可？（如果不做，就一定達不到目標）。總而言之，想要達成目標，有了充份條件就成，沒有必要條件就不成。

充份條件 ＝＞目標＝＞必要條件

你曉得如何運用「充份」與「必要」這兩個字眼了嗎？試試看自己能不能回答下列幾個小問題：

1. 在仕女之夜，身為女性是免費入場的充份條件，請問，這個條件必要嗎？
2. 要老爸掏腰包買車的必要條件是年滿18歲，請問，這個條件充份嗎？
3. 假設三角形 ABC 的三邊長為 a, b, c。請舉出這個三角形為直角三角形的一個充份條件和一個必要條件。

最後，讓我們順便提一下，若某件事情對我們所關心的目標而言，既充份而且必要，我們就說它是一個充要條件，或者等價條件 (equivalent condition)。你能不能舉出直角三角形的一個等價條件呢？

目標 ＜＝＞充要條件／等價條件

Answer 5

(一)
p,q是兩個敘述,"若p則q"成立,我們稱p是q的充分條件,q是p的必要條件.用p→q表示.

(二)
(a) 必要條件（necessary condition）
所謂必要條件是指：假如某一事件沒有出現，那麼另一事件必然不會出現。（或古語：無之必不然。）
其形式：假若沒有（不會，不是）A，就沒有（不會，不是）B。
例如，‘風’是‘放風箏’的必要條件，而‘修過微積分’是可以選修‘工程數學’的必要條件。

(b) 充分條件（sufficient condition）
所謂充分條件是指：一旦某一事件（如語句所指的事實）出現，另一事件必然會出現。（或古語：有之必然。）
其形式：如果C，則D。
這是指：C出現的話，必定D也會出現。此時C是D的充分條件。
因此，‘美伊開戰’是‘全球經濟會受影響’的充分條件。‘你運氣夠好的話’ 是‘你會一夜致富的’的充分條件。估且不論事實如何，所謂條件連接詞就隱含了前項與後項之間的如此關係或結構。

(c) 充分條件與必要條件的關聯
若說P是Q的充分條件時，同時也是在說Q是P的必要條件。
在上述例中，‘風’是‘放風箏’的必要條件，‘修過微積分’是可以選修‘工程數學’的必要條件，那麼，也可以理解說，只要能夠‘放風箏’，那麼就表示一定是有‘風’。所以，‘放風箏’ 則為‘風’的充分條件。同理，‘選修工程數學’是‘修過微積分’的充分條件。它們的邏輯結構是如此，只是碰到必要條件的關係時，平常我們口語不會這樣說。

(三)
充分條件：完成一個結果只要有它即可，就是充分條件。
必要條件：會產生的必然結果，就是必要條件。
充要條件：又是充分也是必要，即稱為充要條件。　

　
【例子】
　　　　敘述:正三角形必是等腰三角形
【說明】　　　
　　　　充分條件:正三角形
　　　　必要條件:等腰三角形

　　●注意，反之不對，亦即等腰三角形不一定是正三角形。
　　

　【例子】
　　　　敘述：三角形ABC中，斜邊為c，兩股a、b，且∠B=90°。
　　　　則∠B=90°的充要條件是a+b=c
　【說明】
　　　=>
　　　　若∠B=90°，則必為直角三角形，故有a+b=c
　　　　充分條件:∠B=90°
　　　　必要條件:a+b=c
　　　<=
　　　　若a+b=c，則必為直角三角形，故∠B=90°
　　　　充分條件:a+b=c
　　　　必要條件:∠B=90°


　　　　故∠B=90°的充要條件是a+b=c

Answer 6

先舉不數學的簡單例子:
若 "騎機車" 則 "戴安全帽"

這是一種很特別的陳述,因為只有當 "騎機車" 為真(true) "戴安全帽" 為偽(false) 時才造成這個陳述為偽,其他情形這個陳述都為真
也就是說

若 "騎機車" 則 "戴安全帽" : 真 (不罰款)
若 "騎機車" 則 不"戴安全帽" : 偽 (要罰款)
若 不"騎機車" 則 "戴安全帽" : 真 (不罰款)
若 不"騎機車" 則 不"戴安全帽" : 真 (不罰款)

這種特別的陳述: 若 "騎機車" 則 "戴安全帽"
也叫做 "騎機車" 蘊涵 "戴安全帽"
或 "騎機車" 是 "戴安全帽" 之 充分條件
或 "戴安全帽" 是 "騎機車" 之 必要條件

蘊涵型式的陳述也稱為命題
要造成充要條件就是必須是 若 "騎機車" 則 "戴安全帽" 以及 若 "戴安全帽" 則 "騎機車" 這兩個命題都成立時 "騎機車" 才是 "戴安全帽" 的充要條件
所以這個例子顯然 "騎機車" 並不是 "戴安全帽" 的充要條件,僅能說是充分條件,因為 "戴安全帽" 為真時並不蘊涵 "騎機車" 為真.
看另外一個例子: 若 "心地善良" 則 "是好人" 為真, 若 "是好人" 則 "心地善良" 也為真,這種情形,就說 "心地善良" 為 "是好人" 的充要條件.
另外很容易發現, 若 不"心地善良" 則 不"是好人" 以及 若 不"是好人" 則 不"心地善良",也就是充要條件時, "心地善良" 和 "是好人" 同真或同偽時命題才是真.

把以上 "騎機車" 替換為P, "戴安全帽" 替換為Q, 若 "騎機車" 則 "戴安全帽" 表示為 P=>Q
就說P是Q的充分條件或Q是P的必要條件.
也可以容易做真值表(T表true,真;F表False,偽)
PQP=>Q
------------------------------------
TTT
TFF
FTT
FFT
把 "心地善良" 替換為P, "是好人"替換為Q 則 P=>Q且Q=>P
也就是 P<=>Q ,P為Q之充要條件.
真值表

PQP<=>Q
-------------------------------------
TTT
TFF
FTF
FFT

既然已經改為P和Q了,當然就可以任意換成想要換的數學東東了,
如 x>2 => x>1 也可以說成 x>2是x>1的充分條件或 x>1是 x>2的必要條件,
如果你寫 y=10 <=> 10=y 我也就可以唸成 y=10是10=y的充要條件.
(上面真值表內用空白鍵作區隔可能不會對齊,還請見諒)

2006-04-08 22:27:52 補充：
不好意思,沒想到不但沒對齊,連空白都不見了,希望不影響理解.

Answer 7

其實道理很簡單~~~
所謂充分條件 看字面上意思就知道了
就是說這樣條件是如果後者符合的條件前者都要有
意即是前者是後者的"子集合" 比如說:
"若a=3,b=5 則 a+b=8 "
從以上來看 a=3,b=5這個條件雖然可以使a+b=8成立
但是其實a+b=8卻不是只有這一組解 而是無限多組解
這時候就把前者稱做後者的"充分條件"
而後者即為前者的"必要條件"

如果今天前後兩個集合剛好重疊的話!
那前者和後者的關係就互稱為充分且必要條件 簡稱"充要條件"了!

我舉個例子來說吧~~!
若 等角四邊形且四邊相等則為正方形
從上述看來 要符合 等角四邊形且四邊相等的只有正方形
而反之亦然~~~^^