複變函數中，e^(iπ)=-1的問題，一些我不解的矛盾

Question

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306040405267在這個問題裡，地球人網友在意見欄告訴我複變函數的一些事情，我沒學過複變函數，但根據他的說明，我越來越疑惑，複變函數怎麼常常與既有的指數律、對數率矛盾，數學家為何定義了這些矛盾的函數？我想必有它的原因。但是地球人網友雖然熱切回答，我還是不能解惑，所以乾脆自己開一個問題來求教。(回答這個問題前，請先看我與地球人的討論，比較知道我想問什麼)謝謝指教！1.Euler說eiπ=-1，我看過不下20次，反正我不懂，看過就算，沒有進一步去想。最近才發覺，這是矛盾的，是我算錯了，還是另有原因？指數律說：若a=b≠0，則an=bn；以及(am)n=amn；以及若am=an，且a不為1,-1,0，則m=n。那麼，eiπ=-1，則(eiπ)2=(-1)2，e2πi=1=e0，故2πi=0？？矛盾？2.log28=3，只對應到唯一一個值；log381=4，只對應到唯一一個值；那為什麼ln(-1)=(2m+1)πi，對應到無限多個值？既然8是2的3次方，8就不可能是2的5次方，那為何-1是e的πi次方，又是-1的3πi次方，且是-1的5πi次方？3.地球人網友說ln(1)=2nπi，這更奇怪，ln不是以e為底的對數嗎？ln(x)=loge(x)，不是嗎？而ln(1)=loge(1)=0=2nπi，居然0=2nπi？矛盾？

好，那麼 log(3為底)243的值是多少？是唯一的嗎？

Answer 1

一、先由指數開始解釋：z為複數，k為整數exp(z+2kπi)=exp(z)*exp(2kπi)= exp(z)*1=exp(z)所以對複數而言，若兩個複數z1,z2的差為2πi的倍數，則exp(z1)=exp(z2)二、對數是指數的反函數，若exp(y)=x，則y=ln(x)，但符合條件的y並不只一個，若y1與y2的差為2πi的倍數，則y1與y2皆可為ln(x)的值，其中虛部介於(-π,π]的只有一個y0，定義y0=Ln(x)。三、若exp(z1)=exp(z2)，則z1,z2的差為2πi的倍數，並不代表二者會相等。這樣有解決你的問題嗎？

2006-04-08 08:18:43 補充：
ln(243)/Ln(3)
=ln(243)/Ln(3)
=(Ln(243)+2kπi)/Ln(3)
=5+2kπi/Ln(3)
不是唯一

2006-04-09 21:58:43 補充：
log(3為底)243若限定它是實數，則它只能等於5。
log(c為底)a+log(c為底)b=log(c為底)(ab)
只要branch對應正確，就會成立，如果對應錯誤，就不成立。
要知道在複數裡，對數是多值函數，不是單值函數。所以這不是簡單到用對與錯就能回答清楚的。

2006-04-11 08:34:40 補充：
ln(-1)=(2k+1)πi
有無限多個值，這些值之間彼此不會相等。

Answer 2

那為什麼我高中老師告訴我log(3為底)243=5？是因為若限定它是實數，它只能等於5嗎？
那log(c為底)a+log(c為底)b=log(c為底)(ab)
a,b,c皆為正數，且c≠1
這個等式是否不論其log值為實數或虛數恆成立呢？
是，請證明；不是，請舉反例。

2006-04-10 23:35:25 補充：
這樣說起來，在複數系中，連遞移律都未必成立了嗎？
因為在實數系下，log1000既然等於3
，它就不可能等於4，不然經由遞移律，可以得到3=4，這是明顯矛盾的。
但Ln(-1)=πi=3πi
那麼遞移律在此是不成立了？(不然一定是會矛盾的，πi=3πi)

Answer 3

豪哥說的
因為某一因素而使得實數體系不敷使用,才產生了複數系
我說的
因為要解決一元二次方程式 許多無實數解 才引入i的觀念
當然 有許多是和實數不合的
(最重要的 虛數無大小=不能用實數大小的觀念)

2006-04-07 09:11:06 補充：
但是 在複數系
指數律還是大部分通用的
例如 e^x=1+x+x^2/2+.....
(x的定義域為所有實數)
把x用ix代
就得到e^ix=cosx +i sinx
而且|e^ix|=1 for all real　ｘ
這樣定義　　你不感覺很好嗎？
－－－－－－－－－－－－－
總而言之　ｅ＾ｉ＊ｐｉ＋１＝０
是以實用為出發點的！

Answer 4

複變函數論所探討的主題是以複變數為主,而複數體系與我們直觀的實數系是截然不同的,而之前所提的對數三個運算歸則是定義在實數系上,當然就不能用在複數體系,因此會有不相容的情況,

2006-04-07 00:34:38 補充：
logx=y,在實數系中,iogx=y要有意義,則必須x>0,這是我們都知道的,因為10^y=x>0,x,y皆為實數,但是log(-4)這不能拿來用傳統的對數規則來討論,因為(-4)是<0的,它已經跳脫了傳統的我們對對數的定義

2006-04-07 00:46:18 補充：
應該是這樣說吧,因為某一因素而使得實數體系不敷使用,才產生了複數系,因為複數的產生而使得原本實數沒系沒辦法解決的問題可迎刃而解,而因複數而產生ln(-1)的情況是不違背傳統對數規則,因ln(-1)對傳統對數來講是無意義的,當然利用它來檢驗對數法則也就無意義了