為什麼不定義Log(-1)

Question

數學家們定義根號負1為 i，為啥沒人定義Log(-1)= J之類的呢？
想想，這樣Log(- 4)就可以表達為2Log2+J ，豈不方便？

請不要只回答「那沒意義......」之類的，就算沒意義也起碼得有個理由～

嗯，現在我也想知道－地球人網友－的計算式是否正確？請幫幫忙。

我覺得從e^ix=cos(x)+i sin(x)
e^iπ=cosπ+i sinπ=-1這一步不難懂，但接著他把兩邊取Ln這一步真的很可疑，多多找碴OK?
e^iπ+1=0 Eular 的千古妙式?

Answer 1

通常數學家定義一個原本無定義的事物會基於兩點理由：1.若不定義它，則某些重要的數學定理無法成立。2.擴充某些運算規則的適用範圍。而√-1=i一開始屬於第1種，因為若不定義它，則「一元n次方程式恰有n個根」將成為錯誤。而2-3主要屬於第2種，它將指數律(比方2a*2b=2a+b)的指數由正整數擴充到整個實數系。但不論基於第1種或第2種理由，都不能與既有的運算規則產生矛盾，否則只好選擇3條路其中之一：(1)改變定義，直到與所有的既有的運算規則都不矛盾。(2)不定義它。(3)改變既有的運算規則。比方√-1=i與「√ab=√a*√b，a,b為實數」這條運算規則是矛盾的；因為√16=√[(-4)(-4)]=√-4*√-4=2i*2i=－4，但√16=4，因此－4=4，矛盾。但是√-1有必需定義的重大理由，我們不能不定義它，也不能改變它的定義，所以只好改變運算規則：「√ab=√a*√b，a,b為實數，且a,b不同時為負數」(亦即a,b不是隨便代什麼實數都可以的)，這樣一來，√-1=i就不再與該條運算規則矛盾。好，回到你的問題，我們為什麼要定義log(-1)，以我所知的數學世界，不會是基於第1種理由，沒有log(-1)，數學一樣暢行無阻，但是沒有i或0！可不行。那就是第二種啦！把對數的真數擴充到負數也是蠻有趣的。問題是你的定義行不通，因為它與「logAB=logA+logB」和「logA/B=logA-logB」和「logmn=k←→mk=n」這三條規則矛盾。因為log－4=log[4*(-1)]=log4+log-1=2log2+Jlog－4=log[4/(-1)]=log4-log-1=2log2-J因此2log2+J=2log2-J2J=0，J=0log-1=0，100=-1=1，這是矛盾的。

2006-04-05 09:47:58 補充：
就算有定義，也不是發問者要的定義，
況且他要log-4，你給的卻是Ln-1，
那麼log-4究竟是多少呢？它的值是否符合既有的對數運算規則？

2006-04-05 10:37:20 補充：
而且，我不明白(雖然我相信它是對的)，如何解釋這個矛盾？
Ln(-1)+Ln(-1)=2Ln(-1)=Ln(-1)^2=Ln1=0
但Ln(-1)+Ln(-1)=πi+πi=2πi
(是2πi，而不是i*sin2π吧！？根據你所說的)
那麼2πi=0？？？
這個Ln跟高中的Ln好像不一樣！？

2006-04-05 18:59:12 補充：
地球人：
你還是沒有解釋我提出的矛盾呀！
推論出2πi=0這是為什麼？
再者，你依然沒說log-4的值，這裡的log以10為底，我相信發問者所問的也是以10為底。

2006-04-06 14:40:14 補充：
那麼，數學家為什麼要這麼定義呢？
你說2*Ln(-1)與Ln(1)不會相等，但是我們有n*log(a為底)b=log(a為底)(b^n)
Ln只不過把底數換為e罷了，所以它應該也適用這個規則才是，
事實上的確3*Ln2=Ln(2^3)≒2.079
並且2*Ln1=Ln(1^2)=0
那為什麼2*Ln(-1)≠Ln(-1)^2呢？
數學家為什麼寧可違背真數為正數時的規則，也要這樣定義呢？必然有不得不違背規則的理由吧？

Answer 2

最近看了 所以發現我以前的想法想錯了。做個比較中肯的結論吧！如果我們是活在現實世界，複變函數(除了積分的複變分析外)似乎是和99.9999%的人類沒有相關的一門數學。不過它很「神聖而不可侵犯」罷了。順帶一提，複數系在這裡(高等數學)對於所有阿里不達的函數都是有定義的，像sin(-i),(2-3i)^(5+i),Ln(-1)甚至Ln(i)......初次踏入複變的殿堂，如有錯誤請多指正，謝。

Answer 3

地球人才是對的. 廣義來說 √-1= i 也可以是 -i. 看你是取哪個 branchs ( or Reimann surfaces). 一般如果不聲明, 則說是 i. 那是因為約定俗成取 principal value. ln 在這邊也一樣

Answer 4

地球人說的完全正確。

2006-04-09 13:42:30 補充：
我不知道你是如何斷定不是你說的第一種情形的。

Answer 5

你的底數只要不是，負值
不管n次方，都會是正值
所以並不需要定義一個
讓自己麻煩的東西

2006-04-04 23:09:54 補充：
如果你需要，你就自己定義呀！
再努力研究…不過不會得諾貝爾獎的

Answer 6

藍跟阿命 到底是...?

Answer 7

已知exp(a+b*i)=exp(a)[cos(b)+i*sin(b)]則exp[(2k+1)πi]=cos[(2k+1)π]+i*sin[(2k+1)π]=-1，k為任意整數ln(-1)= (2k+1)πi令k=0，Ln(-1)=πi這要到大學的複變函數(complex variables)才會教到。

2006-04-05 08:26:11 補充：
在複變函數裡面，這些都是有定義的。
大學就學得到。輪不到我們再來定義。
而知道這些“常識＂也不會得獎。
那些論述不能定義的人顯然没有學過。

2006-04-05 16:58:11 補充：
要解釋複數之對數的定義，必須推翻我們以往對函數的認識。以往我們對函數的認識為一個數對應一個數，但對數的定義是一個數對應多個數，而且個數是無限多個。
例如ln(-1)= (2k+1)πi，k可以為任意整數，每個k值對應到ln(-1)定義的一個
“branch＂，ln(-1)有無限多個定義。Ln代表幅角於(-π,π]的branch。
ln(-4)=Ln(4)*ln(-1)=Ln(4)*[(2k+1)πi]

2006-04-05 16:58:26 補充：
我必須承認它很複雜，但事實就是如此，我在學校學到的就是如此。建議去找一本複變函數的書來參考，會比較清楚。
許多課本的符號以log,Log代表以e為底的對數，而不用ln,Ln這些符號。我是為了區別，才用ln,Ln這些符號。

2006-04-05 17:00:17 補充：
我的字數没有超過2000字，但無法補充答案。請管理員趕快幫我解決吧。

2006-04-06 08:39:34 補充：
一、2Ln(-1)與Ln(1)屬於不同的branch，
所以2* Ln(-1)與Ln(1)不會相等，
而會差2πi的倍數。
二、log(-4)=ln(-4)/Ln(10)
=Ln(4)*ln(-1)
=Ln(4)*[(2k+1)πi]/Ln(10)

2006-04-06 20:08:02 補充：
ln(-1)=(2m+1)πi
2*ln(-1)=2(2m+1)πi
ln(1)=2nπi
n=2m+1時所對應的branch，
ln(1)=2*ln(-1)

2006-04-09 16:26:12 補充：
課本上就是這樣寫，我只是照著課本上寫的回答，難道我錯了嗎？

Answer 8

因為通常LOG都是以10為底....

LOG10=1 也就是10的一次方等於10...

但是10的任何次方都不可能等於負數...

所以不會有LOG(-X)存在...